φυβλαςのβλογ
phyblas的博客



ความน่าจะเป็นเบื้องต้นสำหรับเขียนโปรแกรม บทที่ ๙: การแจกแจงความน่าจะเป็นที่ขึ้นกับตัวแปรสองตัวขึ้นไป
เขียนเมื่อ 2020/07/27 07:07

ต่อจาก บทที่ ๘

ในบทนี้ยังอยู่ที่เรื่องของการแจกแจงความน่าจะเป็นของค่าแบบต่อเนื่องต่อจากบทที่แล้ว คราวนี้จะว่าด้วยการแจกแจงที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร 2 ตัวขึ้นไป

ในที่นี้จะยกตัวอย่างกรณีที่มีตัวแปร 2 ตัว ซึ่งสามารถวาดให้มองเห็นภาพได้ ส่วนกรณีที่มีตัวแปรมากกว่า 2 ตัวอาจจินตนาการภาพได้ยาก แต่ก็สามารถต่อยอดไปได้




การแจกแจงความน่าจะเป็นร่วม

ในบทแล้วได้พิจารณาการแจกแจงที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรตัวเดียว ซึ่งสามารถนึกภาพง่ายๆได้ว่ามีฟังก์ชันแจกแจงเป็นกราฟ แล้วพื้นที่ใต้กราฟก็จะเป็นความน่าจะเป็นของช่วงนั้น ซึ่งก็หาได้จากปริพันธ์

(ภาพ 9.1)

(สมการ 9.1)

คราวนี้ลองจินตนาการถึงกรณีที่ขึ้นกับตัวแปร 2 ตัว

เมื่อมี 2 ตัวแปร เวลาจะวาดกราฟจึงเป็นสองมิติ แต่พอจะวาดค่าของฟังก์ชันแจกแจงความหนาแน่นด้วยจึงอยู่ในรูปของสามมิติแบบนี้



แบบนี้ค่าความน่าจะเป็นของค่าในช่วง x และ y ที่กำหนดก็คือปริมาตรใต้กราฟ ซึ่งคำนวณได้โดยการหาปริพันธ์ในช่วงโดยคิดทั้ง x และ y


ขอบเขตในที่นี้กำหนดทั้งใน x และ y พร้อมกัน จึงหมายความว่าเป็นความน่าจะเป็นร่วม เวลาเขียนจะใช้จุลภาค (,) คั่นเพื่อแสดงให้เห็นว่าดูขอบเขตของทั้ง x และ y

ความน่าจะเป็นรวมทั้งหมดต้องเป็น 1 ดังนั้นพื้นที่ใต้กราฟรวมก็เป็น 1 ปริพันธ์ตั้งลบอนันต์ถึงอนันต์ก็ต้องได้ 1


หากต้องการหาความน่าจะเป็นโดยดูแค่ค่า x อย่างเดียวในขณะที่ y จะเป็นค่าใดๆนั้นก็ทำได้โดยหาปริพันธ์ของ y ตลอดช่วง




ซึ่งพอไม่สนการแจกแจงในแกน y แบบนี้อาจมองว่า f กลายเป็นแค่ฟังก์ชันของ x เท่านั้น แล้วจะเขียนได้ว่า


แล้วก็จะได้ว่า


ซึ่งก็จะกลับไปสู่สมการ 9.1 แล้วก็จะกลับไปเขียนเป็นสองมิติอย่างในภาพ 9.1 ได้

ในทางกลับกันถ้าจะมองแค่การแจกแจงในแกน y โดยไม่สนใจแกน x ก็จะกลายเป็นแบบนี้








การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

จากตัวอย่างที่ผ่านมาเราได้พิจารณาฟังก์ชันแจกแจงที่ขึ้นอยู่กับ 2 ตัวแปรไปในขณะเดียวกันคือ x และ y และเมื่อต้องการพิจารณาแค่ตัวแปรใดตัวหนึ่งก็ให้ทำการหาปริพันธ์ของอีกตัวแปรหนึ่งตลอดตั้งแต่ลบอนันต์ถึงอนันต์

แต่นอกจากนี้แล้ว ยังสามารถสร้างฟังก์ชันแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรตัวเดียวโดยที่พิจารณาให้อีกตัวแปรอยู่แค่ในช่วงที่กำหนดได้

หากต้องการหาความน่าจะเป็นตาม x โดยที่พิจารณา y แค่ช่วงใดช่วงหนึ่ง อาจเขียนภาพได้ในลักษณะนี้



แบบนี้เป็นความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ที่ X อยู่ในช่วง x1 ถึง x2 โดยมีเงื่อนไขคือค่า Y อยู่ระหว่าง y1 ถึง y2 ซึ่งก็คือความน่าจะเป็นร่วมของทั้ง X และ Y หารด้วยความน่าจะเป็นเฉพาะ Y ก็จะคิดได้ว่าเป็นปริมาตรส่วนสีแดงหารด้วยส่วนสีเหลือง


ซึ่งสามารถทำเป็นฟังก์ชันแจกแจงของ X เฉพาะในช่วง y1 ถึง y2 ได้



แล้วความน่าจะเป็นที่ X จะอยู่ในช่วง x1 ถึง x2 เมื่อ Y อยู่ระหว่าง y1 ถึง y2 ก็จะคำนวณได้ด้วยฟังก์ชันแจกแจงความน่าจะเป็นอันนี้




นอกจากนี้ ที่จริงค่าของตัวแปรอีกตัวอาจไม่จำเป็นต้องเป็นขอบเขตก็ได้ แต่เป็นค่าค่าหนึ่ง

เช่นถ้าพิจารณาความน่าจะเป็นแค่ที่ Y=y1 อาจได้ว่า



ซึ่งที่จริงแล้วในกรณีฟังก์ชันต่อเนื่องแบบนี้การจะมาคิดความน่าจะเป็นที่ค่าค่าหนึ่งนั้นจะต้องได้ 0 เสมอ เพราะจากภาพถ้าดูเป็นปริมาตร ไม่ว่าจะส่วนสีแดงหรือสีเหลืองก็แบนเป็นแผ่น จึงเข้าใกล้ 0 ทั้งนั้น

แต่เพราะเข้าใกล้ 0 เช่นกัน ผลหารระหว่างส่วนสีแดงกับสีเหลืองก็มีค่าได้ ซึ่งก็คือดูจากพื้นที่ของหน้าตัดตรงนั้นนั่นเอง

ดังนั้นความว่าจะเป็นเมื่อ Y=y1 หาได้ว่า


โดย


และในทำนองเดียวกัน ถ้าพิจารณาการแจกแจงความน่าจะเป็นตาม Y โดยที่ X เท่ากับค่าหนึ่ง ก็จะเป็น







ความเป็นอิสระจากกัน

ถ้าการแจกแจงตามตัวแปรหนึ่งไม่ได้มีผลต่อการแจกแจงตามในอีกตัวแปร นั่นคือเป็นอิสระต่อกัน สามารถแยกส่วนของฟังก์ชันการแจกแจงของทั้ง 2 ตัวแปรออกจากกันได้


ตัวอย่างเช่น




ถ้าลองดูการแจกแจงตาม x ที่ค่า y ค่าต่างๆ ก็จะเห็นว่ามีความแตกต่างเป็นจำนวนเท่าแน่นอน เหมือนคูณด้วยค่าคงที่บางอย่างเท่านั้น




เมื่อลองดูการแจกแจงตาม y ที่ค่า x ค่าต่างๆก็เช่นกัน




ดังนั้นกรณีแบบนี้สามารถแยกฟังก์ชันแจกแจงตาม x และตาม y ออกจากกันได้




ค่าคาดหมาย

ฟังก์ชันแจกแจงของ 2 ตัวแปรก็สามารถคำนวณค่าคาดหมายได้ในทำนองเดียวกันกับกรณีตัวแปรเดียว

g(X,Y) เป็นฟังก์ชันใดๆของ X และ Y ค่าคาดหมายของ g(X,Y) คำนวณได้โดย


เช่น ค่าคาดหมายของ X และ Y เป็น


ตัวอย่างเช่น ถ้าฟังก์ชันแจกแจงความน่าจะเป็นเป็นดังนี้


ถ้าหาค่าคาดหมายของ XY จะได้




บทถัดไป >> บทที่ ๑๐


-----------------------------------------

囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧

ดูสถิติของหน้านี้

หมวดหมู่

-- คณิตศาสตร์ >> ความน่าจะเป็น

ไม่อนุญาตให้นำเนื้อหาของบทความไปลงที่อื่นโดยไม่ได้ขออนุญาตโดยเด็ดขาด หากต้องการนำบางส่วนไปลงสามารถทำได้โดยต้องไม่ใช่การก๊อปแปะแต่ให้เปลี่ยนคำพูดเป็นของตัวเอง หรือไม่ก็เขียนในลักษณะการยกข้อความอ้างอิง และไม่ว่ากรณีไหนก็ตาม ต้องให้เครดิตพร้อมใส่ลิงก์ของทุกบทความที่มีการใช้เนื้อหาเสมอ

目录

从日本来的名言
模块
-- numpy
-- matplotlib

-- pandas
-- opencv
-- pytorch
机器学习
-- 神经网络
maya
javascript
概率论
与日本相关的日记
与中国相关的日记
-- 与北京相关的日记
-- 与香港相关的日记
-- 与澳门相关的日记
与台湾相关的日记
与北欧相关的日记
与其他国家相关的日记
qiita
其他日志

按类别分日志



ติดตามอัปเดตของบล็อกได้ที่แฟนเพจ

  查看日志

  推荐日志

ภาษาจีนแบ่งเป็นสำเนียงอะไรบ้าง มีความแตกต่างกันมากแค่ไหน
ทำความเข้าใจระบอบประชาธิปไตยจากประวัติศาสตร์ความเป็นมา
เรียนรู้วิธีการใช้ regular expression (regex)
หลักการเขียนทับศัพท์ภาษาจีนกวางตุ้ง
การใช้ unix shell เบื้องต้น ใน linux และ mac
หลักการเขียนทับศัพท์ภาษาจีนกลาง
g ในภาษาญี่ปุ่นออกเสียง "ก" หรือ "ง" กันแน่
ทำความรู้จักกับปัญญาประดิษฐ์และการเรียนรู้ของเครื่อง
ค้นพบระบบดาวเคราะห์ ๘ ดวง เบื้องหลังความสำเร็จคือปัญญาประดิษฐ์ (AI)
หอดูดาวโบราณปักกิ่ง ตอนที่ ๑: แท่นสังเกตการณ์และสวนดอกไม้
พิพิธภัณฑ์สถาปัตยกรรมโบราณปักกิ่ง
เที่ยวเมืองตานตง ล่องเรือในน่านน้ำเกาหลีเหนือ
บันทึกการเที่ยวสวีเดน 1-12 พ.ค. 2014
แนะนำองค์การวิจัยและพัฒนาการสำรวจอวกาศญี่ปุ่น (JAXA)
เล่าประสบการณ์ค่ายอบรมวิชาการทางดาราศาสตร์โดยโซวเคนได 10 - 16 พ.ย. 2013
ตระเวนเที่ยวตามรอยฉากของอนิเมะในญี่ปุ่น
เที่ยวชมหอดูดาวที่ฐานสังเกตการณ์ซิงหลง
บันทึกการเที่ยวญี่ปุ่นครั้งแรกในชีวิต - ทุกอย่างเริ่มต้นที่สนามบินนานาชาติคันไซ
หลักการเขียนทับศัพท์ภาษาญี่ปุ่น
ทำไมจึงไม่ควรเขียนวรรณยุกต์เวลาทับศัพท์ภาษาต่างประเทศ
ทำไมถึงอยากมาเรียนต่อนอก
เหตุผลอะไรที่ต้องใช้ภาษาวิบัติ?