ความน่าจะเป็นเบื้องต้นสำหรับเขียนโปรแกรม บทที่ ๘: ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของค่าแบบต่อเนื่อง
เขียนเมื่อ 2020/07/25 19:12
แก้ไขล่าสุด 2021/09/28 16:42
ต่อจาก บทที่ ๗
ในบทนี้จะเข้าสู่เรื่องของความน่าจะเป็นของปริมาณที่เป็นค่าต่อเนื่อง ซึ่งเป็นเนื้อหาที่มีความเป็นนามธรรมเข้าใจยากกว่าปริมาณที่เป็นค่าไม่ต่อเนื่องดังในบทที่ผ่านมา
อะไรคือต่อเนื่องกับไม่ต่อเนื่อง
ในบทที่ผ่านมาเป็นการพูดถึงปริมาณที่นับได้แน่นอน มีจุดชัดเจนว่าจะมีค่าเท่าใดได้บ้าง และพิจารณาแค่ค่าที่มีอยู่และความเป็นไปได้ของค่านั้น เช่นแต้มลูกเต๋า จำนวนไอเท็มที่ดร็อปได้
ปริมาณแบบนั้นเรียกว่าเป็นค่าไม่ต่อเนื่อง (离散, discrete)
ค่าไม่ต่อเนื่องมีจำนวนแน่นอน ส่วนใหญ่จะเป็นจำนวนเต็ม แต่ก็ไม่จำเป็น เช่นถ้าพูดถึงคะแนนสอบซึ่งมีการให้ 0.5 ด้วย แบบนั้นคะแนนสอบก็ถือเป็นค่าไม่ต่อเนื่องได้
แต่ปริมาณทั่วไปหลายสิ่งที่พบในธรรมชาติไม่ได้เป็นเช่นนั้น เช่นเวลา (วินาที) น้ำหนัก (กก.) ส่วนสูง (ซม.) ระยะทาง (กม.) ฯลฯ ค่าอาจเป็นเท่าไหร่ก็ได้ ไม่มีค่าที่เรียกว่าพอดีเป๊ะเท่านั้นจริงๆ
เช่นถ้าบอกว่าหนัก 50 กิโลกรัม ปกติแล้วก็ไม่ได้หมายความว่าหนัก 50 เป๊ะ แค่หนักประมาณเท่านั้น ถ้าไปวัดให้ละเอียดอาจจะเป็น 50.01234567 มีทศนิยมค่าเล็กๆซึ่งถูกปักทิ้งอยู่อีกมากมายไม่สิ้นสุด
ปริมาณแบบนี้เรียกว่าเป็นค่าต่อเนื่อง (连续, continuous)
อาจนึกภาพประมาณนี้
นอกจากนี้แล้ว ตัวค่าความน่าจะเป็นเองก็ถือเป็นปริมาณต่อเนื่องเช่นกัน เพราะมีค่าเท่าไหร่ก็ได้ตั้งแต่ 0 ถึง 1 และเรื่องของ "ความน่าจะเป็นของความน่าจะเป็น" ก็เป็นเนื้อหาสำคัญอย่างหนึ่งที่น่ากล่าวถึงเช่นกัน
เมื่อมาคิดเรื่องของความน่าจะเป็นสำหรับค่าต่อเนื่อง จะมีวิธีคิดที่ต่าไปต่างค่าแบบไม่ต่อเนื่อง แม้ส่วนใหญ่จะเทียบเคียงกันได้ แต่มักจะยากกว่า เป็นนามธรรมมากกว่า ต้องใช้จินตนาการเพิ่มเติมมากกว่า
ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น
เมื่อพูดถึงเรื่องความน่าจะเป็นของค่าต่อเนื่อง ประเด็นน่าสนใจที่มักจะพูดถึงก็คือการที่ค่าความน่าจะเป็นของจุดใดๆจะเป็น 0 เสมอ
สาเหตุเนื่องจากว่าค่าต่อเนื่องไม่มีค่าใดๆที่เป็นค่าเป๊ะๆ ดังนั้นถ้าคิดจะหาค่าความน่าจะเป็นของค่าใดค่าหนึ่งที่แน่นอน ก็ย่อมจะได้ 0 เสมอ
แต่ความน่าจะเป็นเป็นสิ่งที่ต้องรวมกันหมดแล้วได้ 1 ถ้ามีแต่ 0 บวกกันแล้วจะกลายเป็น 1 ได้อย่างไร? นี่เป็นความจริงอย่างหนึ่งที่ชวนให้สับสน แต่โลกนี้ก็เต็มไปด้วยอะไรที่เหนือสามัญสำนึกแบบนี้อยู่มากมายจริงๆ
เมื่อค่าไม่ได้เป็นจุดๆที่ไม่ต่อเนื่องที่จะแยกได้ชัดแบบนี้จึงไม่มีความหมายอะไรที่จะหาความน่าจะเป็นของค่านั้นพอดี แต่จะพิจารณาเป็นช่วงๆแทน เช่น P(50 กก. ≤ น้ำหนัก ≤ 55 กก.) หรือ P(160 ซม. ≤ สูง ≤ 165 ซม.) แบบนี้จึงจะมีค่า
เมื่อพูดถึงการแจกแจงความน่าจะเป็นของค่าแบบต่อเนื่อง ความน่าจะเป็นในแต่ละช่วงมักจะคำนวณโดยพิจารณาจากฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (概率密度函数, probability density function) ซึ่งเป็นตัวบอกว่าในบริเวณนั้นมีความน่าจะเป็นเท่าใด
ให้ fX(x) เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น จะได้ว่าความน่าจะเป็นในช่วงระหว่าง a ถึง b เป็นปริพันธ์จำกัดเขต (definite integral) ในช่วง a ถึง b
หากวาดกราฟของ fX(x) แล้ว ความน่าจะเป็นภายในช่วงก็จะเท่ากับพื้นที่ใต้กราฟในช่วงนั้น
ความน่าจะเป็นรวมทั้งหมดต้องได้ 1 ดังนั้นผลรวมของพื้นที่ไต้กราฟทั้งหมดตั้งแต่ -∞ ไปจนถึง ∞ ก็จะต้องเป็น 1 เสมอ
การแจกแจงเอกรูปต่อเนื่อง
เพื่อเป็นตัวอย่างวิธีการใช้ฟังก์ชันการแจกแจงความหนาแน่นเพื่อคำนวณความน่าจะเป็น เริ่มจากขอยกตัวอย่างรูปแบบการแจกแจงความหนาแน่นความน่าจะเป็นที่เข้าใจง่ายที่สุด นั่นก็คือ การแจกแจงเอกรูปต่อเนื่อง (连续型均勻分布, continuous uniform distribution)
คำว่า "เอกรูป" อาจฟังดูไม่คุ้น แต่ก็แปลได้ตรงตัว "เอก" คือ 1 "รูป" ก็คือรูป จึงหมายถึงเป็นการแจงที่มีอยู่รูปแบบเดียวตลอดทั้งหมดในขอบเขตช่วงหนึ่ง
ถ้าฟังก์ชัน fX แจกแจงแบบเอกรูปต่อเนื่อง จะได้ว่า
ที่มีตัวหาร b-a อยู่ก็เพื่อให้พื้นที่ใต้กราฟรวมได้เท่ากับ 1
เมื่อวาดกราฟก็จะออกมาเป็นลักษณะที่ราบสูงแบบนี้
โดยทั่วไปการแจกแจงจะอยู่แค่ในช่วงใดช่วงหนึ่งที่แน่นอนเท่านั้น เพราะพื้นที่ใต้กราฟต้องรวมแล้วได้ค่าจำกัดเท่ากับ 1 ดังนั้นความสูงของที่ราบก็จะแปรผกผันกับความกว้างของที่ราบ
ในที่นี้ใช้เครื่องหมายน้อยกว่าหรือเท่ากับ (≤) ก็จริง แต่จริงๆจะใช้น้อยกว่า (<) ก็ไม่ต่างกัน เพราะไม่มีค่าที่จุดนั้นพอดีอยู่แล้ว
การแจกแจงแบบนี้พบได้ในชีวิตประจำวันในหลายกรณีด้วย ยกตัวอย่างเช่น ลองนึกถึงรูเล็ต (roulette) อุปกรณ์พนันที่โยนบอลลงไปในวงกลม ดูว่าบอลตกช่องไหน
เพียงแต่ว่ารูเล็ตโดยทั่วไปจะมีการแบ่งเป็นช่องชัดเจน เช่นในรูปนี้เป็นตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 36 ซึ่งถ้าเป็นแบบนี้ก็ถือเป็นการแจกแจงเอกรูปเหมือนกัน แต่ค่าเป็นค่าไม่ต่อเนื่องจึงกลายเป็นการแจกแจงเอกรูปแบบไม่ต่อเนื่อง (离散型均匀分布, discrete uniform distribution)
ดังนั้นให้นึกถึงรูเล็ตที่ไม่มีช่องกั้น เช่นสมมุติว่าเอาบอลไปโยนลงในหมวกแบบที่ผีดิบจีน เจียงซือ (僵尸) ชอบใส่ ก็ได้
เจียงซือ! (ที่มาของภาพ)
เมื่อโยนบอลลงไปในหมวกของเจียงซือ บอลจะไปตกอยู่ตรงตำแหน่งมุมเท่าไหร่ก็มีโอกาสพอๆกัน ดังนั้นการแจกแจงความน่าจะเป็นจึงได้เป็น
ในไพธอนมีฟังก์ชัน uniform() ในมอดูล random เอาไว้ใช้สุ่มค่าต่อเนื่องโดยมีความน่าจะเป็นสม่ำเสมอภายในช่วงที่ต้องการได้
สมมุติว่าโยนบอล 100 ครั้ง จากนั้นแสดงผลด้วย matplotlib ดู
import matplotlib.pyplot as plt
import random
mum = []
for i in range(100):
# สุ่มมุมตั้งแต่ 0 ถึง 360
mum += [random.uniform(0,360)]
# วาดกราฟ
plt.xlim(-10,370) # กำหนดขอบเขตแกน x
plt.yticks([]) # ไม่ต้องแสดงแกน y
for i in range(100):
# วาดเส้นตามตำแหน่งที่สุ่มได้
plt.axvline(mum[i],alpha=0.2)
plt.show()จะได้กราฟแบบนี้ออกมา ซึ่งมีการกระจายของค่าอย่างสม่ำเสมอในช่วง 0 ถึง 360 อาจมีบางส่วนหนาแน่นบ้างเพราะมีความไม่แน่นอน แต่โดยรวมแล้วกระจายสม่ำเสมอ
ค่าคาดหมาย
เช่นเดียวกับในกรณีของค่าไม่ต่อเนื่อง ค่าคาดหมายเป็นคุณสมบัติอย่างหนึ่งที่สำคัญสำหรับการแจกแจงของค่าแบบต่อเนื่องเช่นกัน
ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มที่เป็นค่าต่อเนื่องคำนวณได้จากปริพันธ์ของค่าตั้งแต่ -∞ ถึง ∞ คูณด้วยฟังก์ชันความหนาแน่น
โดยภาพรวมแล้วก็คล้ายๆกับกรณีค่าไม่ต่อเนื่อง แต่เปลี่ยนจากผลรวม (Σ) เป็นปริพันธ์ (∫)
ตัวอย่างเช่น สมมุติว่ามีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นเป็นแบบเอกรูปดังนี้
ค่าคาดหมายคำนวณได้ว่า
สำหรับฟังก์ชันเอกรูปแบบนี้แน่นอนว่าค่าคาดหมายก็คือที่ใจกลางที่ราบสูง
ส่วนค่าคาดหมายของ g(X) ซึ่งเป็นฟังก์ชันของ X ก็สามารถคำนวณจากฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของ X ได้โดย
ตัวอย่าง สมมุติว่าฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นเป็นดังนี้
หากต้องการคำนวณค่าคาดหมายของ X2 จะได้ว่า
ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีวิธีคิดที่เหมือนกับกรณีค่าไม่ต่อเนื่อง นั่นคือ
เพียงแต่เวลาคำนวณจะใช้การหาปริพันธ์
ตัวอย่าง มีฟังก์ชันการแจกแจงความหนาแน่นดังนี้
เริ่มจากคำนวณหาค่าคาดหมาย E(X)
คำนวณความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ฟังก์ชันแจกแจงความหนาแน่นสะสม
ปริมาณอีกอย่างที่มักใช้อธิบายการแจกแจงความหนาแน่นของค่าต่อเนื่องก็คือ ฟังก์ชันแจกแจงสะสม (累积分布函数, cumulative distribution function) ซึ่งเป็นค่าที่ได้จากการหาปริพันธ์ของฟังก์ชันแจกแจงความน่าจะเป็นตั้งแต่ -∞ ไปจนถึงค่านั้น
ฟังก์ชันแจกแจงสะสม FX ที่ตำแหน่ง a คำนวณได้โดย
ในขณะที่ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นมักใช้เป็น f เล็ก ฟังก์ชันแจกแจงสะสมจะใช้ F ใหญ่
ค่า FX(a) แสดงถึงความน่าจะเป็นรวมของค่าตั้งแต่ -∞ จนถึง a
ดังนั้น
และความน่าจะเป็นของช่วงตั้งแต่ a ถึง b ก็คือ
ตัวอย่างเช่น ให้
ดังนั้นจะได้ว่า
การหาฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นจากฟังก์ชันแจกแจงความหนาแน่นสะสม
เมื่อ FX เป็นปริพันธ์ของ fX ดังนั้น fX ก็เป็นอนุพันธ์ของ FX
ดังนั้นเมื่อรู้ฟังก์ชันแจกแจงความหนาแน่นสะสม ก็เอามาหาอนุพันธ์เพื่อจะหาฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นได้
ตัวอย่างเช่น ถ้าฟังก์ชันแจกแจงความหนาแน่นสะสมเป็นแบบนี้
จะได้ว่าฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าเป็นคือ
หากวาดกราฟดูก็จะได้แบบนี้
บทถัดไป >> บทที่ ๙