ความน่าจะเป็นเบื้องต้นสำหรับเขียนโปรแกรม บทที่ ๙: การแจกแจงความน่าจะเป็นที่ขึ้นกับตัวแปรสองตัวขึ้นไป

เขียนเมื่อ 2020/07/27 07:07

แก้ไขล่าสุด 2021/09/28 16:42

ㄍ๏ สารบัญ ๏ㄟ

๛ การแจกแจงความน่าจะเป็นร่วม
๛ การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
๛ ความเป็นอิสระจากกัน
๛ ค่าคาดหมาย

ต่อจาก บทที่ ๘

ในบทนี้ยังอยู่ที่เรื่องของการแจกแจงความน่าจะเป็นของค่าแบบต่อเนื่องต่อจากบทที่แล้ว คราวนี้จะว่าด้วยการแจกแจงที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร 2 ตัวขึ้นไป

ในที่นี้จะยกตัวอย่างกรณีที่มีตัวแปร 2 ตัว ซึ่งสามารถวาดให้มองเห็นภาพได้ ส่วนกรณีที่มีตัวแปรมากกว่า 2 ตัวอาจจินตนาการภาพได้ยาก แต่ก็สามารถต่อยอดไปได้

การแจกแจงความน่าจะเป็นร่วม介

ในบทแล้วได้พิจารณาการแจกแจงที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรตัวเดียว ซึ่งสามารถนึกภาพง่ายๆได้ว่ามีฟังก์ชันแจกแจงเป็นกราฟ แล้วพื้นที่ใต้กราฟก็จะเป็นความน่าจะเป็นของช่วงนั้น ซึ่งก็หาได้จากปริพันธ์

(ภาพ 9.1)

\begin{matrix} P (x_{1} < X < x_{2}) = \int_{x_{1}}^{x_{2}} f_{X} (x) d x \end{matrix}

$\begin{align} P(x_1 < X < x_2) = \int_{x_1}^{x_2} f_X(x) dx \end{align}\;\;\;\;$ (สมการ 9.1)

คราวนี้ลองจินตนาการถึงกรณีที่ขึ้นกับตัวแปร 2 ตัว

เมื่อมี 2 ตัวแปร เวลาจะวาดกราฟจึงเป็นสองมิติ แต่พอจะวาดค่าของฟังก์ชันแจกแจงความหนาแน่นด้วยจึงอยู่ในรูปของสามมิติแบบนี้

แบบนี้ค่าความน่าจะเป็นของค่าในช่วง x และ y ที่กำหนดก็คือปริมาตรใต้กราฟ ซึ่งคำนวณได้โดยการหาปริพันธ์ในช่วงโดยคิดทั้ง x และ y

\begin{matrix} P (x_{1} < X < x_{2}, y_{1} < Y < y_{2}) = & \int_{y_{1}}^{y_{2}} (\int_{x_{1}}^{x_{2}} f_{X, Y} (x, y) d x) d y ห ร ื อ & \int_{x_{1}}^{x_{2}} (\int_{y_{1}}^{y_{2}} f_{X, Y} (x, y) d y) d x \end{matrix}

$\begin{align} P(x_1 < X < x_2,y_1 < Y < y_2) =& \int_{y_1}^{y_2} \left( \int_{x_1}^{x_2} f_{X,Y}(x,y) dx \right) dy \\ หรือ & \int_{x_1}^{x_2} \left( \int_{y_1}^{y_2} f_{X,Y}(x,y) dy \right) dx \end{align}$

ขอบเขตในที่นี้กำหนดทั้งใน x และ y พร้อมกัน จึงหมายความว่าเป็นความน่าจะเป็นร่วม เวลาเขียนจะใช้จุลภาค (,) คั่นเพื่อแสดงให้เห็นว่าดูขอบเขตของทั้ง x และ y

ความน่าจะเป็นรวมทั้งหมดต้องเป็น 1 ดังนั้นพื้นที่ใต้กราฟรวมก็เป็น 1 ปริพันธ์ตั้งลบอนันต์ถึงอนันต์ก็ต้องได้ 1

\begin{matrix} P (- \infty < X < \infty, - \infty < Y < \infty) = \int_{- \infty}^{\infty} (\int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (x, y) d x) d y = 1 \end{matrix}

$\begin{align} P(-\infty < X < \infty,-\infty < Y < \infty) = \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dx \right) dy = 1 \end{align}$

หากต้องการหาความน่าจะเป็นโดยดูแค่ค่า x อย่างเดียวในขณะที่ y จะเป็นค่าใดๆนั้นก็ทำได้โดยหาปริพันธ์ของ y ตลอดช่วง

\begin{matrix} P (x_{1} < X < x_{2}) & = P (x_{1} < X < x_{2}, - \infty < Y < \infty) = \int_{x_{1}}^{x_{2}} (\int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (x, y) d y) d x \end{matrix}

$\begin{align} P(x_1 < X < x_2) &= P(x_1 < X < x_2,-\infty < Y < \infty) \\ &= \int_{x_1}^{x_2} \left( \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dy \right) dx \end{align}$

ซึ่งพอไม่สนการแจกแจงในแกน y แบบนี้อาจมองว่า f กลายเป็นแค่ฟังก์ชันของ x เท่านั้น แล้วจะเขียนได้ว่า

\begin{matrix} f_{X} (x) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (x, y) d y \end{matrix}

$\begin{align} f_{X}(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dy \end{align}$

แล้วก็จะได้ว่า

\begin{matrix} P (x_{1} < X < x_{2}) & = \int_{x_{1}}^{x_{2}} (\int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (x, y) d y) d x = \int_{x_{1}}^{x_{2}} f_{X} (x) d x \end{matrix}

$\begin{align} P(x_1 < X < x_2) &= \int_{x_1}^{x_2} \left( \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dy \right) dx \\ &= \int_{x_1}^{x_2} f_{X}(x) dx \end{align}$

ซึ่งก็จะกลับไปสู่สมการ 9.1 แล้วก็จะกลับไปเขียนเป็นสองมิติอย่างในภาพ 9.1 ได้

ในทางกลับกันถ้าจะมองแค่การแจกแจงในแกน y โดยไม่สนใจแกน x ก็จะกลายเป็นแบบนี้

\begin{matrix} P (y_{1} < Y < y_{2}) & = P (y_{1} < Y < y_{2}, - \infty < X < \infty) = \int_{y_{1}}^{y_{2}} (\int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (x, y) d x) d y = \int_{y_{1}}^{y_{2}} f_{Y} (y) d y \end{matrix}

$\begin{align} P(y_1 < Y < y_2) &= P(y_1 < Y < y_2,-\infty < X < \infty) \\ &= \int_{y_1}^{y_2} \left( \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dx \right) dy \\ &= \int_{y_1}^{y_2} f_{Y}(y) dy \end{align}\;\;\;\;$

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข介

จากตัวอย่างที่ผ่านมาเราได้พิจารณาฟังก์ชันแจกแจงที่ขึ้นอยู่กับ 2 ตัวแปรไปในขณะเดียวกันคือ x และ y และเมื่อต้องการพิจารณาแค่ตัวแปรใดตัวหนึ่งก็ให้ทำการหาปริพันธ์ของอีกตัวแปรหนึ่งตลอดตั้งแต่ลบอนันต์ถึงอนันต์

แต่นอกจากนี้แล้ว ยังสามารถสร้างฟังก์ชันแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรตัวเดียวโดยที่พิจารณาให้อีกตัวแปรอยู่แค่ในช่วงที่กำหนดได้

หากต้องการหาความน่าจะเป็นตาม x โดยที่พิจารณา y แค่ช่วงใดช่วงหนึ่ง อาจเขียนภาพได้ในลักษณะนี้

แบบนี้เป็นความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ที่ X อยู่ในช่วง x₁ ถึง x₂ โดยมีเงื่อนไขคือค่า Y อยู่ระหว่าง y₁ ถึง y₂ ซึ่งก็คือความน่าจะเป็นร่วมของทั้ง X และ Y หารด้วยความน่าจะเป็นเฉพาะ Y ก็จะคิดได้ว่าเป็นปริมาตรส่วนสีแดงหารด้วยส่วนสีเหลือง

\begin{matrix} P (x_{1} < X < x_{2} | y_{1} < Y < y_{2}) & = \frac{P (x_{1} < X < x_{2}, y_{1} < Y < y_{2})}{P (y_{1} < Y < y_{2})} = \frac{P (x_{1} < X < x_{2}, y_{1} < Y < y_{2})}{P (- \infty < X < \infty, y_{1} < Y < y_{2})} = \frac{\int_{x_{1}}^{x_{2}} (\int_{y_{1}}^{y_{2}} f_{X, Y} (x, y) d y) d x}{\int_{- \infty}^{\infty} (\int_{y_{1}}^{y_{2}} f_{X, Y} (x, y) d y) d x} \end{matrix}

$\begin{align} P(x_1 < X < x_2|y_1 < Y < y_2) &= \frac{P(x_1 < X < x_2,y_1 < Y < y_2)}{P(y_1 < Y < y_2)} \\ &= \frac{P(x_1 < X < x_2,y_1 < Y < y_2)}{P(-\infty < X < \infty, y_1 < Y < y_2)} \\ &= \frac{\int_{x_1}^{x_2} \left( \int_{y_1}^{y_2} f_{X,Y}(x,y) dy \right) dx}{\int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{y_1}^{y_2} f_{X,Y}(x,y) dy \right) dx} \end{align}$

ซึ่งสามารถทำเป็นฟังก์ชันแจกแจงของ X เฉพาะในช่วง y₁ ถึง y₂ ได้

\begin{matrix} f_{X | Y \in (y_{1}, y_{2})} (x) & = \frac{\int_{y_{1}}^{y_{2}} f_{X, Y} (x, y) d y}{\int_{- \infty}^{\infty} (\int_{y_{1}}^{y_{2}} f_{X, Y} (x, y) d y) d x} \end{matrix}

$\begin{align} f_{X|Y \in (y_1,y_2)}(x) &= \frac{\int_{y_1}^{y_2} f_{X,Y}(x,y) dy}{\int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{y_1}^{y_2} f_{X,Y}(x,y) dy \right) dx} \end{align}$

แล้วความน่าจะเป็นที่ X จะอยู่ในช่วง x₁ ถึง x₂ เมื่อ Y อยู่ระหว่าง y₁ ถึง y₂ ก็จะคำนวณได้ด้วยฟังก์ชันแจกแจงความน่าจะเป็นอันนี้

\begin{matrix} P (x_{1} < X < x_{2} | y_{1} < Y < y_{2}) & = \int_{x_{1}}^{x_{2}} f_{X | Y \in (y_{1}, y_{2})} (x) d x \end{matrix}

$\begin{align} P(x_1 < X < x_2|y_1 < Y < y_2) &= \int_{x_1}^{x_2} f_{X|Y \in (y_1,y_2)}(x) dx \end{align}$

นอกจากนี้ ที่จริงค่าของตัวแปรอีกตัวอาจไม่จำเป็นต้องเป็นขอบเขตก็ได้ แต่เป็นค่าค่าหนึ่ง

เช่นถ้าพิจารณาความน่าจะเป็นแค่ที่ Y=y₁ อาจได้ว่า

ซึ่งที่จริงแล้วในกรณีฟังก์ชันต่อเนื่องแบบนี้การจะมาคิดความน่าจะเป็นที่ค่าค่าหนึ่งนั้นจะต้องได้ 0 เสมอ เพราะจากภาพถ้าดูเป็นปริมาตร ไม่ว่าจะส่วนสีแดงหรือสีเหลืองก็แบนเป็นแผ่น จึงเข้าใกล้ 0 ทั้งนั้น

แต่เพราะเข้าใกล้ 0 เช่นกัน ผลหารระหว่างส่วนสีแดงกับสีเหลืองก็มีค่าได้ ซึ่งก็คือดูจากพื้นที่ของหน้าตัดตรงนั้นนั่นเอง

ดังนั้นความว่าจะเป็นเมื่อ Y=y₁ หาได้ว่า

\begin{matrix} P (x_{1} < X < x_{2} | Y = y_{1}) & = \frac{P (x_{1} < X < x_{2}, Y = y_{1})}{P (Y = y_{1})} = \frac{P (x_{1} < X < x_{2}, Y = y 1)}{P (- \infty < X < \infty, Y = y 1)} = \int_{x_{1}}^{x_{2}} f_{X | Y = y_{1}} (x) d x \end{matrix}

$\begin{align} P(x_1 < X < x_2|Y = y_1) &= \frac{P(x_1 < X < x_2,Y = y_1)}{P(Y = y_1)} \\ &= \frac{P(x_1 < X < x_2,Y = y1)}{P(-\infty < X < \infty, Y = y1)} \\ &= \int_{x_1}^{x_2} f_{X|Y=y_1}(x) dx \end{align}$

โดย

\begin{matrix} f_{X | Y = y_{1}} (x) = \frac{\int_{x_{1}}^{x_{2}} f_{X, Y} (x, y_{1}) d x}{\int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (x, y_{1}) d x} \end{matrix}

$\begin{align} f_{X|Y=y_1}(x) = \frac{\int_{x_1}^{x_2} f_{X,Y}(x,y_1) dx}{\int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y_1) dx} \end{align}$

และในทำนองเดียวกัน ถ้าพิจารณาการแจกแจงความน่าจะเป็นตาม Y โดยที่ X เท่ากับค่าหนึ่ง ก็จะเป็น

\begin{matrix} f_{Y | X = x_{1}} (y) = \frac{\int_{y_{1}}^{y_{2}} f_{X, Y} (x_{1}, y) d y}{\int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (x_{1}, y) d y} P (y_{1} < Y < y_{2} | X = x_{1}) = \int_{y_{1}}^{y_{2}} f_{Y | X = x_{1}} (y) d y \end{matrix}

$\begin{align} f_{Y|X=x_1}(y) = \frac{\int_{y_1}^{y_2} f_{X,Y}(x_1,y) dy}{\int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x_1,y) dy} \\ P(y_1 < Y < y_2|X = x_1) = \int_{y_1}^{y_2} f_{Y|X=x_1}(y) dy \end{align}$

ความเป็นอิสระจากกัน介

ถ้าการแจกแจงตามตัวแปรหนึ่งไม่ได้มีผลต่อการแจกแจงตามในอีกตัวแปร นั่นคือเป็นอิสระต่อกัน สามารถแยกส่วนของฟังก์ชันการแจกแจงของทั้ง 2 ตัวแปรออกจากกันได้

$\begin{align} f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) f_Y(y) \end{align}$

ตัวอย่างเช่น

$\begin{align} f_{X}(x) = \left\{\begin{matrix} 1-|x| & เมื่อ\;-1 \le x \le 1 \\ 0 & ที่อื่น \end{matrix}\right. \\ f_{Y}(y) = \left\{\begin{matrix} |y| & เมื่อ\;-1 \le y \le 1 \\ 0 & ที่อื่น \end{matrix}\right. \end{align}$

ถ้าลองดูการแจกแจงตาม x ที่ค่า y ค่าต่างๆ ก็จะเห็นว่ามีความแตกต่างเป็นจำนวนเท่าแน่นอน เหมือนคูณด้วยค่าคงที่บางอย่างเท่านั้น

เมื่อลองดูการแจกแจงตาม y ที่ค่า x ค่าต่างๆก็เช่นกัน

ดังนั้นกรณีแบบนี้สามารถแยกฟังก์ชันแจกแจงตาม x และตาม y ออกจากกันได้

ค่าคาดหมาย介

ฟังก์ชันแจกแจงของ 2 ตัวแปรก็สามารถคำนวณค่าคาดหมายได้ในทำนองเดียวกันกับกรณีตัวแปรเดียว

g(X,Y) เป็นฟังก์ชันใดๆของ X และ Y ค่าคาดหมายของ g(X,Y) คำนวณได้โดย

$\begin{align} E(g(X,Y)) = \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} g(x,y)f_{X,Y}(x,y) dx\right) dy \end{align}$

เช่น ค่าคาดหมายของ X และ Y เป็น

$\begin{align} E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} xf_{X,Y}(x,y) dx \right) dy \\ E(Y) = \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} yf_{X,Y}(x,y) dx \right) dy \end{align}$

ตัวอย่างเช่น ถ้าฟังก์ชันแจกแจงความน่าจะเป็นเป็นดังนี้

$\begin{align} f_{X,Y}(x,y) = \left\{\begin{matrix} 0.08 & เมื่อ\;0 \le x \le 5\;และ\;0 \le y \le x \\ 0 & ที่อื่น \end{matrix}\right. \end{align}$

ถ้าหาค่าคาดหมายของ XY จะได้

$\begin{align} E(XY) &= \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} xyf_{X,Y}(x,y) dy \right) dx \\ &= \int_{0}^{5} \left( \int_{0}^{x} 0.08xy dy\right) dx \\ &= \int_{0}^{5} 0.04x^3 dx \\ &= 6.25 \end{align}$

บทถัดไป >> บทที่ ๑๐

-----------------------------------------

囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧

ดูสถิติของหน้านี้

หมวดหมู่

-- คณิตศาสตร์ >> ความน่าจะเป็น

ไม่อนุญาตให้นำเนื้อหาของบทความไปลงที่อื่นโดยไม่ได้ขออนุญาตโดยเด็ดขาด หากต้องการนำบางส่วนไปลงสามารถทำได้โดยต้องไม่ใช่การก๊อปแปะแต่ให้เปลี่ยนคำพูดเป็นของตัวเอง หรือไม่ก็เขียนในลักษณะการยกข้อความอ้างอิง และไม่ว่ากรณีไหนก็ตาม ต้องให้เครดิตพร้อมใส่ลิงก์ของทุกบทความที่มีการใช้เนื้อหาเสมอ

1月	2月	3月	4月
5月	6月	7月	8月
9月	10月	11月	12月

1月	2月	3月	4月
5月	6月	7月	8月
9月	10月	11月	12月

1月	2月	3月	4月
5月	6月	7月	8月
9月	10月	11月	12月

1月	2月	3月	4月
5月	6月	7月	8月
9月	10月	11月	12月

1月	2月	3月	4月
5月	6月	7月	8月
9月	10月	11月	12月

φυβλαςのβλογ
บล็อกของ phyblas

-----------------------------------------

囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧

หมวดหมู่

~ เกี่ยวกับเรา ~

สารบัญ

บทความแบ่งตามหมวด

ค้นหาบทความ

บทความล่าสุด

บทความแนะนำ

บทความแต่ละเดือน

2025年

2024年

2023年

2022年

2021年

ค้นบทความเก่ากว่านั้น

ไทย

日本語

中文

φυβλαςのβλογบล็อกของ phyblas

-----------------------------------------

囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧

หมวดหมู่

~ เกี่ยวกับเรา ~

สารบัญ

บทความแบ่งตามหมวด

ค้นหาบทความ

บทความล่าสุด

บทความแนะนำ

บทความแต่ละเดือน

2025年

2024年

2023年

2022年

2021年

ค้นบทความเก่ากว่านั้น

ไทย

日本語

中文

φυβλαςのβλογ
บล็อกของ phyblas

　 ค้นหาบทความ

　 บทความล่าสุด

　 บทความแนะนำ