ความน่าจะเป็นเบื้องต้นสำหรับเขียนโปรแกรม บทที่ ๕: การแจกแจงทวินาม

เขียนเมื่อ 2020/07/25 19:09

แก้ไขล่าสุด 2023/08/26 13:16

ㄍ๏ สารบัญ ๏ㄟ

๛ การแจกแจงผลการโยนเหรียญ
๛ การแจกแจงผลการโยนลูกเต๋า
๛ รูปทั่วไปของการแจกแจงทวินาม
๛ การแจกแจงเหตุการณ์ที่มีโอกาสเกิดขึ้นเป็น p
๛ ค่าคาดหมายของการแจกแจงทวินาม
๛ ค่าความแปรปรวนของการแจกแจงทวินาม

ต่อจาก บทที่ ๔

บทที่แล้วได้พูดถึงการแจกแจงความน่าจะเป็นของค่าแบบไม่ต่อเนื่องไปแล้ว สำหรับในบทนี้จะพูดถึงตัวอย่างการแจกแจงความน่าจะเป็นรูปแบบหนึ่งที่พบได้บ่อยและเข้าใจได้ไม่ยาก นั่นคือการแจกแจงทวินาม (二项分布, binomial distribution)

การแจกแจงผลการโยนเหรียญ介

ก่อนจะพูดถึงว่าการแจกแจงทวินามคืออะไร ขอเริ่มจากยกตัวอย่างการแจกแจงผลการโยนเหรียญ ซึ่งเป็นตัวอย่างการแจกแจงทวินามในรูปแบบที่ง่ายที่สุด

สมมุติว่ามีเหรียญ n เหรียญซึ่งมีโอกาสโยนแล้วได้หัวหรือก้อยเป็น 1/2 เท่ากัน ผลรวมจำนวนครั้งที่จะโยนได้หัวควรจะเป็นเท่าใด

กรณีนี้จำนวนครั้งที่โยนได้หัวคือตัวแปรสุ่ม เพราะขึ้นอยู่กับว่าโยนเหรียญ n ครั้งออกอะไรบ้าง แต่ละค่าก็มีความน่าจะเป็นต่างกันไป

สมมุติว่า ◎ แทนหัส ◯ แทนก้อย โยนเหรียญ 1 ครั้งมีโอกาสจะได้ 2 กรณีคือเหรียญนั้นเป็น ◎ กับ ◯

ให้ P(k) เป็นความน่าจะเป็นที่จะโยนเหรียญได้หัว k ครั้ง กรณีโยนเหรียญครั้งเดียวจะได้ว่า

$\begin{align} P(0) = 1/2 \\ P(1) = 1/2 \end{align}$

ถ้าโยน 2 ครั้งก็จะแบ่งเป็น 4 กรณี คือ ◎◎, ◎◯, ◯◎, ◯◯ ดังนั้นความน่าจะเป็นจะกลายเป็น

$\begin{align} P(0) = 1/4 \\ P(1) = 2/4 \\ P(2) = 1/4 \end{align}$

ถ้าโยน 3 ครั้งก็จะมี 8 กรณีคือ ◎◎◎, ◎◎◯, ◎◯◎, ◎◯◯, ◯◎◎, ◯◎◯, ◯◯◎, ◯◯◯ ดังนั้นความน่าจะเป็นจะกลายเป็น

$\begin{align} P(0) = 1/8 \\ P(1) = 3/8 \\ P(2) = 3/8 \\ P(3) = 1/8 \end{align}$

ถ้าโยน 4 ครั้งก็จะมี 16 กรณีคือ
◎◎◎◎, ◎◎◎◯, ◎◎◯◎, ◎◎◯◯,
◎◯◎◎, ◎◯◎◯, ◎◯◯◎, ◎◯◯◯,
◯◎◎◎, ◯◎◎◯, ◯◎◯◎, ◯◎◯◯,
◯◯◎◎, ◯◯◎◯, ◯◯◯◎, ◯◯◯◯

ดังนั้นความน่าจะเป็นจะกลายเป็น

$\begin{align} P(0) = 1/16 \\ P(1) = 4/16 \\ P(2) = 6/16 \\ P(3) = 4/16 \\ P(4) = 1/16 \end{align}$

ไล่มาถึงตรงนี้ก็จะพอนึกภาพได้ออกว่าการแจกแจงแนวโน้มจะเป็นอย่างไรเมื่อเพิ่มจำนวนเหรียญขึ้นไป

หากโยนเหรียญ n ครั้งความน่าจะเป็นที่จะได้หัว k ครั้งเป็น

$\begin{align} P(k) = \frac{C(n,k)}{2^n} \end{align}$

โดย C(n,k) คือจำนวนวิธีการในการจัดหมู่ (combination) ซึ่งคำนวณได้โดย

$\begin{align} C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \end{align}$

โดยเครื่องหมายตกใจในที่นี้หมายถึงแฟกทอเรียล

ในไพธอนมีฟังก์ชัน factorial() ในมอดูล math เอาไว้คำนวณค่าแฟทอเรียลได้ ลองเอามาใช้เขียนโปรแกรมเพื่อแสดงการแจกแจงตั้งแต่ n=1 ไปจนถึง n=9 ดูได้ดังนี้

import math
# n คือจำนวนเหรียญทั้งหมด
for n in range(1,9+1):
    n_hua = [] # ลิสต์เก็บความถี่ในแต่ละกรณีจำนวนที่ได้หัว k ตัว
    # k คือจำนวนเหรียญที่จะได้หัว
    for k in range(0,n+1):
        c = math.factorial(n)/(math.factorial(k)*math.factorial(n-k))
        n_hua += [c/2**n]
    print('n =',n,':',n_hua) # แสดงผล

ได้

n = 1 : [0.5, 0.5]
n = 2 : [0.25, 0.5, 0.25]
n = 3 : [0.125, 0.375, 0.375, 0.125]
n = 4 : [0.0625, 0.25, 0.375, 0.25, 0.0625]
n = 5 : [0.03125, 0.15625, 0.3125, 0.3125, 0.15625, 0.03125]
n = 6 : [0.015625, 0.09375, 0.234375, 0.3125, 0.234375, 0.09375, 0.015625]
n = 7 : [0.0078125, 0.0546875, 0.1640625, 0.2734375, 0.2734375, 0.1640625, 0.0546875, 0.0078125]
n = 8 : [0.00390625, 0.03125, 0.109375, 0.21875, 0.2734375, 0.21875, 0.109375, 0.03125, 0.00390625]
n = 9 : [0.001953125, 0.017578125, 0.0703125, 0.1640625, 0.24609375, 0.24609375, 0.1640625, 0.0703125, 0.017578125, 0.001953125]

ลักษณะเหมือนเป็นพีรามิดซ้อนกันไปเรื่อยๆ

หากเอาค่าที่ได้นี้มาวาดกราฟแสดงการแจกแจงจะได้เป็นแบบนี้

กราฟที่ได้จะมีลักษณะสมมาตรซ้ายขวา โดยค่าสูงสุดของกราฟจะอยู่ตรงกลาง กรณีแบบนี้ค่าคาดหมายก็จะอยู่ตรงกลางซึ่งเป็นจุดสูงสุดด้วย ซึ่งจะเห็นได้ว่าจุดสูงสุดอยู่ที่ n/2

ลองมาทดลองสุ่มจริงๆโดยใช้ randint ดู

import random
n = 9 # จำนวนเหรียญ
p = [0]*(n+1) # ลิสต์เก็บค่าความถี่ของจำนวนที่ออกหัวที่ได้ตั้งแต่ 0 ถึง n
# ทำซ้ำ 10000 ครั้ง
for i in range(10000):
    n_hua = 0 # จำนวนครั้งที่ออกหัว
    # ทำซ้ำ n ครั้ง
    for j in range(n):
        # สุ่ม 0 (ก้อย) หรือ 1 (หัว) ถ้าได้หัวก็บวกเพิ่ม
        n_hua += random.randint(0,1)
    # วนครบ n ครั้ง ได้จำนวนครั้งที่ออกหัว n_hua
    p[n_hua] += 1 # เพิ่มความถี่สำหรับจำนวนหัว n_hua ที่ได้นั้น
print(p) # แสดงผลความถี่สุดท้ายของแต่ละค่าที่ได้ออกมา

ได้

13, 177, 691, 1690, 2441, 2447, 1652, 703, 158, 28]

ถ้าวาดเป็นแผนภูมิแท่งแสดงก็จะได้แบบนี้

จะเห็นว่าการแจกแจงเป็นไปตามความน่าจะเป็นกรณี n=9 ซึ่งได้คำนวณไว้ข้างต้น

ลองปรับค่าจำนวนเหรียญ n ก็จะได้การแจกแจงที่ต่างกันออกไปตามที่ควรจะเป็น

การแจกแจงผลการโยนลูกเต๋า介

ต่อไปจะพูดถึงที่มาของการแจกแจงแบบนี้ และขยายความไปสู่กรณีทั่วไปมากขึ้น

ที่จริงแล้วผลที่ได้นี้เป็นไปตามทฤษฎีบททวินาม (binomial theorem) ซึ่งว่าด้วยการแจกแจงของ (x+y)ⁿ

$\begin{align} (x+y)^n = \sum_{k=0}^n C(n,k)x^{n-k}y^k \end{align}$

ซึ่งจะได้ว่า

$\begin{align} (x+y)^2 &= x^2 + 2xy + y^2 \\ (x+y)^3 &= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \\ (x+y)^4 &= x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 \\ (x+y)^5 &= x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5 \end{align}$

ในที่นี้ x แสดงถึงเหรียญที่ออกหัว y แสดงถึงเหรียญที่ออกก้อย โดยเลขชี้กำลังของ x แสดงถึงจำนวนเหรียญที่ออกหัว ดังนั้นสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์จะแสดงความถี่ของการออกเป็นจำนวนครั้งเท่านั้น

ซึ่งสัมประสิทธิ์นี้ก็คือ C(n,k) ดังนั้นเมื่อหารด้วยจำนวนเหตุการณ์ทั้งหมด ซึ่งก็คือ 2ⁿ ก็จะเป็นความน่าจะเป็นที่จะออกหัวเป็นจำนวนครั้งเท่านั้น

$\begin{align} P(k) = \frac{C(n,k)}{2^n} \end{align}$

การโยนเหรียญหัวก้อยนั้นเป็นตัวอย่างกรณี ๒ ทางเลือกที่มีโอกาสเท่าๆกันคือ 1/2 แต่เหตุการณ์โดยทั่วไปอาจมีความน่าจะเป็นในการเกิดขึ้นเป็นเท่าไหร่ก็ได้ตั้งแต่ 0 ถึง 1

ยกตัวอย่างเช่นทอยลูกเต๋าแล้วพิจารณาเหตุการณ์ที่จะได้ 1 กับเหตการณ์ที่จะได้แต้มอื่น แบบนี้ความน่าจะเป็นที่จะทอยได้ 1 คือ

$\begin{align} P(ลูกเต๋าได้\;1) = 1/6 \end{align}$

กรณีนี้จะต่างจากกรณีโยนเหรียญตรงที่โอกาสมีแค่ 1/6 ไม่ใช่ 1/2 โอกาสไม่ได้เท่ากัน ดังนั้นจะแจกแจงแบบกรณีโยนเหรียญไม่ได้

การโยนเหรียญนั้นเทียบได้กับ ((x+y)/2)ⁿ แต่ถ้าโอกาสไม่เท่ากันก็จะเปลี่ยนเป็นตามสัดส่วนนั้น เช่นกรณีลูกเต๋าก็จะเป็น

$\begin{align} \left(\frac{x+5y}{6}\right)^n = \sum_{k=0}^n C(n,k)\left(\frac{1}{6}\right)^k \left(\frac{5}{6}\right)^{n-k} x^{n-k}y^k \end{align}$

ลองเขียนโปรแกรมแสดงการแจกแจงเช่นเดียวกับกรณีโยนเหรียญ

import math
for n in range(1,24+1):
    n_dai1 = [] # ลิสต์เก็บความถี่
    # k คือจำนวนหน้าลูกเต๋าที่ออกแต้ม 1
    for k in range(0,n+1):
        c = math.factorial(n)/(math.factorial(k)*math.factorial(n-k))
        n_dai1 +=[c*((1/6)**k)*((5/6)**(n-k))]
    print('n = %d:\n'%n, n_dai1)

ค่าที่แสดงออกมาจะมีเยอะมาก ในที่นี้ของไม่นำมาแสดงตรงนี้ แต่หากวาดกราฟก็จะได้เช่นนี้

การแจกแจงส่วนใหญ่จะอยู่ในส่วนของจำนวนน้อยๆ โดยจุดสูงสุดในกรณีที่ลูกเต๋าเป็น 6,12,18,24 คือ 1,2,3,4 ตามลำดับ ซึ่งก็เป็นไปตามสามัญสำนึกที่ว่าถ้าโอกาส 1/6 โยน 6 ครั้งก็ควรจะได้ครั้งหนึ่ง

คราวนี้จำลองการโยนลูกเต๋าดู

import random
n = 24 # จำนวนเหรียญ
p = [0]*(n+1) # ลิสต์เก็บค่าความถี่ของจำนวนที่หน้าเต๋าได้แต้ม 1 ได้ตั้งแต่ 0 ถึง n
# ทำซ้ำ 10000 ครั้ง
for i in range(10000):
    n_dai1 = 0 # บวกสะสมจำนวนครั้งที่ได้แต้ม 1
    for j in range(n):
        # สุ่มเลข 1-6 ถ้าได้ 1 ก็บวกเพิ่ม
        if(random.randint(1,6)==1):
            n_dai1 += 1
    p[n_dai1] += 1
print(p) # แสดงผลความถี่สุดท้ายของแต่ละค่าที่ได้ออกมา

ได้

[116, 626, 1372, 2075, 2153, 1706, 1076, 539, 208, 88, 31, 8, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]

ซึ่งก็สอดคล้องกับการกระจายความน่าจะเป็นที่คำนวณได้ และจะเห็นว่าตัวหลังๆเป็น 0 หมดเพราะความเป็นไปได้ต่ำมาก

นำมาวาดแผนภูมิแท่งแสดงความถี่ก็จะได้แบบนี้

รูปทั่วไปของการแจกแจงทวินาม介

จากตัวอย่างกรณีโยนเหรียญและทอยลูกเต๋า สามารถนำไปสู่กรณีที่ทั่วไปกว่านั้น คือหากแบ่งเป็นเกิดกับไม่เกิดเหตุการณ์ที่พิจารณา โดยมีค่าความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์เป็น p การแจกแจงจะได้เป็น

$\begin{align} (px+(1-p)y)^n = \sum_{k=0}^n C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}x^{n-k}y^k \end{align}$

นำมาลองแจกแจงจนถึง 5 จะได้เป็นลักษณะแบบนี้

$\begin{align} (px+(1-p)y)^2 &= p^2x^2 + 2p(1-p)xy + (1-p)^2y^2 \\ (px+(1-p)y)^3 &= p^3x^3 + 3p^2(1-p)x^2y + 3p(1-p)^2xy^2 + (1-p)^3y^3 \\ (px+(1-p)y)^4 &= p^4x^4 + 4p^3(1-p)x^3y + 6p^2(1-p)^2x^2y^2 + 4p(1-p)^3xy^3 + (1-p)^4y^4 \\ (px+(1-p)y)^5 &= p^5x^5 + 5p^4(1-p)x^4y + 10p^3(1-p)^2x^3y^2 + 10 p^2(1-p)^3 x^2y^3 + 5p(1-p)^4xy^4 + (1-p)^5y^5 \end{align}$

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะได้ผลที่ต้องการ k ครั้งก็จะเป็นไปตามสัมประสิทธิ์ที่นำหน้า นั่นคือ

$\begin{align} P(k) = C(n,k)p^k(1-p)^{n-k} \end{align}$

นี่ก็คือรูปทั่วไปของการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบทวินาม

ตรงนี้ถ้า p=1/2 ก็จะกลับไปสู่สมการของกรณีการโยนเหรียญหัวก้อย

ถ้า n=1 จะเป็นกรณีเฉพาะที่เรียกว่าเป็นการแจกแจงแบร์นุลลี (伯努利分布, Bernoulli distribution)

การแจกแจงเหตุการณ์ที่มีโอกาสเกิดขึ้นเป็น p介

ยกตัวอย่างสถานการณ์เช่นเวลาที่เล่นเกมที่มีการตีมอนสเตอร์ เมื่อชนะเสร็จก็จะมีโอกาสดร็อปไปเท็ม สมมุติว่าเมื่อฆ่ามังกรได้มีโอกาสได้เขียวมังกรอยู่ 5% (หรือ 1/20) ถ้าฆ่ามังกรไป n ตัวจะได้เขี้ยวมังกรสักกี่อัน

ใช้สูตรแจกแจงทวินามมาคำนวณอีกเช่นเคย คราวนี้ p=1/20 ลองดูกรณีที่ n เป็น 10,20,...,200

import math
p = 1/20
for n in range(10,200+1,10):
    n_drop = []
    for k in range(0,n+1): # k คือจำนวนไอเท็มที่ดร็อปได้
        c = math.factorial(n)/(math.factorial(k)*math.factorial(n-k))
        n_drop +=[c*(p**k)*((1-p)**(n-k))]    
    print('n = %d:\n'%n, n_drop)

ผลที่ได้ถ้านำมาวาดกราฟก็จะได้แบบนี้ ในที่นี้ขอแสดงแค่ช่วงจนถึง k=20 แม้ว่าค่าจริงๆจะมีถึง 200 เพราะถัดจากตรงนี้ไปก็แทบเป็น 0 หมดแล้ว

คราวนี้ก็ทดลองเขียนโปรแกรมสุ่มดูจริงๆอีก

import random
n = 200 # จำนวนมอนสเตอร์ที่จัดการไป
p = [0]*(30+1) # ลิสต์เก็บจำนวนที่ดร็อปได้ เอาถึงแค่ 30 ก็พอ
# ทำซ้ำ 10000 ครั้ง
for i in range(10000):
    n_drop = 0 # บวกสะสมจำนวนครั้งที่ดร็อปได้
    for j in range(n):
        # สุ่มเลข 1-100 ถ้าได้ไม่เกิน 5 ถือว่าได้
        if(random.randint(1,100)<=5):
            n_drop += 1
    if(n_drop<=30): # บันทึกเฉพาะที่ไม่เกิน 30
        p[n_drop] += 1
print(p) # แสดงผลความถี่สุดท้ายของแต่ละค่าที่ได้ออกมา

ได้

[0, 5, 21, 63, 171, 382, 639, 956, 1090, 1242, 1259, 1197, 959, 708, 541, 339, 185, 133, 60, 22, 19, 4, 3, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]

ถ้านำมาวาดแผนภูมิแท่งดูการแจกแจงก็จะได้

ค่าสูงสุดอยู่ที่ 10 สอดคล้องกับที่ควรจะเป็นว่าถ้าโอกาสดร็อป 1/20 จัดการไป 200 ก็จะได้มา 200/20=10

ค่าคาดหมายของการแจกแจงทวินาม介

ถ้านำการแจกแจงทวินาม n ครั้งที่ความน่าจะเป็น p มาหาค่าคาดหมายจะได้

$\begin{align} E(k) = np \end{align}$

ถ้า np เป็นจำนวนเต็ม ตรงนั้นก็จะเป็นจุดยอดสูงสุดด้วย

ซึ่งตรงนี้แสดงให้เห็นว่า หากทำอะไรที่มีโอกาสทำสำเร็จได้ 1 ใน n พอทำไป n ครั้งก็ควรจะต้องทำสำเร็จ 1 ครั้ง ถ้าทำ 2n ครั้งก็จะสำเร็จ 2 ครั้ง ซึ่งก็ตรงกับสามัญสำนึก ส่วนโอกาสที่จะได้เป็นจำนวนอื่นก็ลดหลั่นลงไปจากนี้ จะเป็นเท่าใดก็ดูได้จากการแจกแจง

วิธีพิสูจน์

$\begin{align} E(k) &= \sum_{k=0}^n k P(k) \\ &= \sum_{k=0}^n k C(n,k)p^k(1-p)^{n-k} \\ &= \sum_{k=0}^n k \frac{n!}{k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k} \\ &= np\sum_{k=1}^n \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k} \\ &= np\sum_{k=1}^n C(n-1,k-1)p^k(1-p)^{n-k} \\ &= np\sum_{k=0}^{n-1}C(n-1,x)p^k (1-p)^{n-1-k} \\ &= np(p+(1-p))^{n-1} \\ &= np \end{align}$

ค่าความแปรปรวนของการแจกแจงทวินาม介

ค่าความแปรปรวนของการแจกแจงทวินามคือ

$\begin{align} V(k) = np(1-p) \end{align}$

พิสูจน์ได้ดังนี้

$\begin{align} V(k) = \sum_{k=0}^n(k-E(k))^2 P(k) \\ \end{align}$

โดยค่าคาดหวัง E(k)=np

$\begin{align} V(k) &= \sum_{k=0}^n(k-np)^2 P(k) \\ &= \sum_{k=0}^n(k^2-2npk+(np)^2)P(k) \\ &= \sum_{k=0}^n k^2P(k) - 2np\sum_{k=0}^n kP(k) + (np)^2\sum_{k=0}^n P(k) \\ &= n(n-1)p^2 - (np)^2 \\ &= np(1-p) \end{align}$

บทถัดไป >> บทที่ ๖

-----------------------------------------

囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧

ดูสถิติของหน้านี้

หมวดหมู่

-- คณิตศาสตร์ >> ความน่าจะเป็น
-- คอมพิวเตอร์ >> เขียนโปรแกรม >> python

ไม่อนุญาตให้นำเนื้อหาของบทความไปลงที่อื่นโดยไม่ได้ขออนุญาตโดยเด็ดขาด หากต้องการนำบางส่วนไปลงสามารถทำได้โดยต้องไม่ใช่การก๊อปแปะแต่ให้เปลี่ยนคำพูดเป็นของตัวเอง หรือไม่ก็เขียนในลักษณะการยกข้อความอ้างอิง และไม่ว่ากรณีไหนก็ตาม ต้องให้เครดิตพร้อมใส่ลิงก์ของทุกบทความที่มีการใช้เนื้อหาเสมอ

1月	2月	3月	4月
5月	6月	7月	8月
9月	10月	11月	12月

1月	2月	3月	4月
5月	6月	7月	8月
9月	10月	11月	12月

1月	2月	3月	4月
5月	6月	7月	8月
9月	10月	11月	12月

1月	2月	3月	4月
5月	6月	7月	8月
9月	10月	11月	12月

1月	2月	3月	4月
5月	6月	7月	8月
9月	10月	11月	12月

-----------------------------------------

囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧

หมวดหมู่

~ 自己紹介 ~

目次

記事の類別

記事を検索

最新記事

おすすめの記事

月別記事

2025年

2024年

2023年

2022年

2021年

もっと前の記事

ไทย

日本語

中文