φυβλαςのβλογ
phyblasのブログ



ความน่าจะเป็นเบื้องต้นสำหรับเขียนโปรแกรม บทที่ ๑๘: การแจกแจงไคกำลังสอง
เขียนเมื่อ 2020/09/10 22:01
แก้ไขล่าสุด 2021/09/28 16:42

ต่อจาก บทที่ ๑๗

ในบทนี้จะเป็นเรื่องของการแจกแจงไคกำลังสอง (χ²分布, chi-square distribution) ซึ่งเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องอีกชนิดหนึ่งที่ถูกใช้งานมาก




การแจกแจงไคกำลังสองคือการแจกแจงผลรวมกำลังสองของการแจกแจงแบบปกติ

การแจกแจงไคกำลังสองเป็นการแจกแจงที่ถูกใช้งานอย่างกว้างขวางในทางวิทยาศาสตร์ เพราะเป็นพื้นฐานที่ใช้ในการทดสอบไคกำลังสอง (χ²检验, Chi-squared test) ที่เอาไว้พิจารณาทดสอบความสมเหตุสมผลของผลการทดลองต่างๆ

ลักษณะการแจกแจงดังกล่าวเกิดขึ้นเมื่อมีการสุ่มค่าใดๆที่มีการแจกแจงเป็นแบบปกติมาตรฐาน (คือที่ μ=0 และ σ=1) แล้วหาผลบวกกำลังสองของค่านั้น

ให้ ti เป็นค่าที่ได้จากการสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติ k ครั้ง หาผลรวมกำลังสองค่าที่ได้นี้

🧹(18.1)

แล้วค่า x ในที่นี้จะมีการแจกแจงความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเป็นการแจกแจงไคกำลังสอง

รูปทั่วไปของการแจกแจงไคกำลังสองเป็นดังนี้

🧹(18.2)

โดย Γ ก็คือฟังก์ชันแกมมา

🧹(18.3)

พารามิเตอร์ของการแจกแจงไคกำลังสองมีแค่ตัวเดียวคือค่า k ซึ่งคือจำนวนครั้งที่ทำการสุ่ม ในที่นี้มักเรียกว่าเป็นองศาเสรี (自由度, degree of freedom)



ลองดูตัวอย่างการสุ่มจริงด้วยไพธอน โดยลองทำการสุ่มค่าโดยมีการแจกแจงแบบปกติ 4 ครั้ง แล้วคำนวณผลรวมของค่ากำลังสอง ทำแบบนี้ซ้ำๆสักหมื่นครั้ง เอาผลที่ได้มาวาดแสดงการแจกแจงเป็นฮิสโทแกรม
import random
import matplotlib.pyplot as plt

k = 4 # จำนวนค่าที่จะสุ่ม
n = 10000 # จำนวนครั้งที่จะลองทำซ้ำ
x = [] # ลิสต์เก็บค่าผลรวมที่สุ่มได้
for i in range(n):
    xi = 0 # ผลรวมของค่าที่สุ่มได้
    for j in range(k):
        # สุ่มแบบปกติแล้วคำนวณค่ากำลังสอง แล้วบวกเพิ่มไป ทำทั้งหมด k ครั้ง
        xi += random.gauss(0,1)**2
    x += [xi] # เก็บค่าผลรวมของการสุ่มที่ได้
# วาดฮิสโทแกรม
plt.hist(x,60,fc='#fad356',ec='k')
plt.show()

ผลที่ได้จะเป็นฮิสโทแกรมที่แสดงการแจกแจงให้เห็นในลักษณะแบบนี้



ค่าที่สุ่มนั้นถูกสุ่มให้มีการแจกแจงเป็นแบบปกติ แต่พอเอาค่ามายกกำลังสองก็จะไม่ใช่การแจกแจงแบบปกติ

ลองดูภาพเคลื่อนไหวนี้เพื่อเปรียบเทียบระหว่างระหว่างผลรวมของค่าที่สุ่มได้เฉยๆกับผลรวมของค่ากำลังสอง



จะเห็นว่าผลรวมธรรมดาจะไม่ต่างจากเดิมนัก จุดสุดสูงสุดยังไงก็เป็น 0 แต่ถ้ายกกำลังสอง จะทำให้ค่าที่ได้ทั้งหมดเป็นบวก และมีแนวโน้มที่จะมีจุดสูงสุดของการแจกแจงเป็นค่าหนึ่งที่มากกว่า 0

กราฟการแจกแจงไคกำลังสองโดยไล่ตั้งแต่ k=1 ไปจนถึง k=12






จุดสูงสุดและค่าคาดหมายการแจกแจงไคกำลังสอง

กราฟตัวอย่างการแจกแจงไคกำลังสองที่ k เป็น 1 ไปจนถึง 7



จะเห็นว่าเมื่อ k มากกว่า 2 กราฟจะมีจุดสูงสุด (ฐานนิยม) อยู่ ซึ่งตำแหน่งจุดสูงสุดนั้นคือ

🧹(18.4)

แต่ถ้า k เป็น 2 ลงมา จุดสูงสุดจะอยู่ที่ x=0

ส่วนค่าคาดหมายก็เท่ากับค่า k

🧹(18.5)

ความแปรปรวนคือ

🧹(18.6)




ความสัมพันธ์ระหว่างการแจกแจงไคกำลังสองกับการแจกแจงแกมมา

ความจริงแล้วการแจกแจงไคกำลังสองก็คือการแจกแจงแกมมาชนิดหนึ่งนั่นเอง

พิจารณาสมการการแจกแจงแกมมาดังที่ได้เขียนถึงไปในบทที่ ๑๖

🧹(18.7)

จะเห็นว่าในสมการนี้หากแทน ν ด้วย k/2 และแทน β ด้วย 1/2 จะกลายเป็นการแจกแจงไคกำลังสอง

ฉะนั้นจริงๆแล้วการแจกแจงไคกำลังสองก็ถือเป็นแค่กรณีพิเศษแบบหนึ่งของการแจกแจงแกมมา




ความน่าจะเป็นสะสมของการแจกแจงไคกำลังสอง

การแจกแจงไคกำลังสองมักถูกนำไปใช้เพื่อพิสูจน์ว่าสมมุติฐานที่คิดไว้นั้นมีโอกาสเกิดขึ้นแค่ไหน โดยพิจารณาจากการแจกแจงความน่าจะเป็นสะสมตั้งแต่ x=0 ไปจนถึงตรงค่า x ที่พิจารณา ดังนั้นจึงมีความสำคัญที่จะพูดถึงการแจกแจงความน่าจะเป็นสะสม

การแจกแจงไคกำลังสองจะเริ่มจากที่ x เป็น 0 และมีค่าไปเรื่อยๆจนถึง x เป็นอนันต์ โดยจะลดลงเรื่อยๆ ยิ่งค่า x มากก็ยิ่งมีโอกาสเกิดขึ้นน้อยลงเรื่อยๆ โดยโอกาสที่ x จะได้ค่ามากถึงค่าเท่านั้นขึ้นไปเป็นเท่าไหร่ขึ้นอยู่กับการแจกแจงความน่าจะเป็นสะสม

ฟังก์ชันแจกแจงความน่าจะเป็นสะสมของการแจกแจงไคกำลังสองคือ

🧹(18.8)

โดย γ ในที่นี้คือฟังก์ชันแกมมาแบบไม่สมบูรณ์ (不完全Γ函数, incomplete gamma function)

🧹(18.9)

ตารางแสดงตำแหน่งค่า a ที่มีความน่าจะเป็นรวมฝั่งขวาเป็นค่าต่างๆ

k
(คือความน่าจะเป็นรวมของส่วนที่ค่า x > a)
0.95 0.90 0.80 0.70 0.50 0.30 0.20 0.10 0.05 0.01 0.001
1 0.004 0.02 0.06 0.15 0.46 1.07 1.64 2.71 3.84 6.63 10.83
2 0.10 0.21 0.45 0.71 1.39 2.41 3.22 4.61 5.99 9.21 13.82
3 0.35 0.58 1.01 1.42 2.37 3.66 4.64 6.25 7.81 11.34 16.27
4 0.71 1.06 1.65 2.20 3.36 4.88 5.99 7.78 9.49 13.28 18.47
5 1.14 1.61 2.34 3.00 4.35 6.06 7.29 9.24 11.07 15.09 20.52
6 1.63 2.20 3.07 3.83 5.35 7.23 8.56 10.64 12.59 16.81 22.46
7 2.17 2.83 3.82 4.67 6.35 8.38 9.80 12.02 14.07 18.48 24.32
8 2.73 3.49 4.59 5.53 7.34 9.52 11.03 13.36 15.51 20.09 26.12
9 3.32 4.17 5.38 6.39 8.34 10.66 12.24 14.68 16.92 21.67 27.88
10 3.94 4.87 6.18 7.27 9.34 11.78 13.44 15.99 18.31 23.21 29.59

ภาพประกอบเสริมความเข้าใจความหมายในตารางนี้ เทียบกราฟกรณี k เป็น 2,4,6 พื้นที่สีชมพูคือส่วนทางขวาที่มีความน่าจะเป็นรวมเป็นค่า P เท่ากับที่แสดงในขณะนั้น



เส้นสีเขียวและตัวเลขสีเขียวคือค่า a

ยิ่งค่า a มากก็ยิ่งทำให้พื้นที่ส่วนฝั่งขวาลดลง โดยจะต่างกันไปขึ้นอยู่กับ k ด้วย

รายละเอียดกว่านั้นเกี่ยวกับเรื่องการทดสอบสมมุติฐานหรือช่วงความเชื่อมั่นนั้นในที่นี้จะไม่ได้เขียนถึง เพราะจะเน้นที่การแจกแจงความน่าจะเป็นเป็นหลัก สามารถอ่านเพิ่มเติมเพื่อทำความเข้าใจต่อได้ในเรื่องของการทดสอบไคกำลังสอง ซึ่งอยู่ในขอบเขตเนื้อหาวิชาสถิติ



บทถัดไป >> บทที่ ๑๙



-----------------------------------------

囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧

ดูสถิติของหน้านี้

หมวดหมู่

-- คณิตศาสตร์ >> ความน่าจะเป็น
-- คอมพิวเตอร์ >> เขียนโปรแกรม >> python

ไม่อนุญาตให้นำเนื้อหาของบทความไปลงที่อื่นโดยไม่ได้ขออนุญาตโดยเด็ดขาด หากต้องการนำบางส่วนไปลงสามารถทำได้โดยต้องไม่ใช่การก๊อปแปะแต่ให้เปลี่ยนคำพูดเป็นของตัวเอง หรือไม่ก็เขียนในลักษณะการยกข้อความอ้างอิง และไม่ว่ากรณีไหนก็ตาม ต้องให้เครดิตพร้อมใส่ลิงก์ของทุกบทความที่มีการใช้เนื้อหาเสมอ

目次

日本による名言集
モジュール
-- numpy
-- matplotlib

-- pandas
-- manim
-- opencv
-- pyqt
-- pytorch
機械学習
-- ニューラル
     ネットワーク
maya
javascript
確率論
日本での日記
中国での日記
-- 北京での日記
-- 香港での日記
-- 澳門での日記
台灣での日記
北欧での日記
他の国での日記
qiita
その他の記事

記事の類別



ติดตามอัปเดตของบล็อกได้ที่แฟนเพจ

  記事を検索

  おすすめの記事

การสร้างแบบจำลองสามมิติเป็นไฟล์ .obj วิธีการอย่างง่ายที่ไม่ว่าใครก็ลองทำได้ทันที
รวมรายชื่อนักร้องเพลงกวางตุ้ง
ภาษาจีนแบ่งเป็นสำเนียงอะไรบ้าง มีความแตกต่างกันมากแค่ไหน
ทำความเข้าใจระบอบประชาธิปไตยจากประวัติศาสตร์ความเป็นมา
เรียนรู้วิธีการใช้ regular expression (regex)
หลักการเขียนทับศัพท์ภาษาจีนกวางตุ้ง
การใช้ unix shell เบื้องต้น ใน linux และ mac
หลักการเขียนทับศัพท์ภาษาจีนกลาง
g ในภาษาญี่ปุ่นออกเสียง "ก" หรือ "ง" กันแน่
ทำความรู้จักกับปัญญาประดิษฐ์และการเรียนรู้ของเครื่อง
ค้นพบระบบดาวเคราะห์ ๘ ดวง เบื้องหลังความสำเร็จคือปัญญาประดิษฐ์ (AI)
หอดูดาวโบราณปักกิ่ง ตอนที่ ๑: แท่นสังเกตการณ์และสวนดอกไม้
พิพิธภัณฑ์สถาปัตยกรรมโบราณปักกิ่ง
เที่ยวเมืองตานตง ล่องเรือในน่านน้ำเกาหลีเหนือ
บันทึกการเที่ยวสวีเดน 1-12 พ.ค. 2014
แนะนำองค์การวิจัยและพัฒนาการสำรวจอวกาศญี่ปุ่น (JAXA)
เล่าประสบการณ์ค่ายอบรมวิชาการทางดาราศาสตร์โดยโซวเคนได 10 - 16 พ.ย. 2013
ตระเวนเที่ยวตามรอยฉากของอนิเมะในญี่ปุ่น
เที่ยวชมหอดูดาวที่ฐานสังเกตการณ์ซิงหลง
บันทึกการเที่ยวญี่ปุ่นครั้งแรกในชีวิต - ทุกอย่างเริ่มต้นที่สนามบินนานาชาติคันไซ
หลักการเขียนทับศัพท์ภาษาญี่ปุ่น
ทำไมจึงไม่ควรเขียนวรรณยุกต์เวลาทับศัพท์ภาษาต่างประเทศ
ทำไมถึงอยากมาเรียนต่อนอก
เหตุผลอะไรที่ต้องใช้ภาษาวิบัติ?

ไทย

日本語

中文