ในบทความก่อนหน้านี้ได้อธิบายเรื่องการอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรด้วยค่าความแปรปรวนร่วมเกี่ยว (协方差, covariance) และสหสัมพันธ์ (相关系数, correlation) ไป
https://phyblas.hinaboshi.com/20180517

สำหรับในบทความนี้จะพูดถึงเรื่องหนึ่งที่นำมาประยุกต์ใช้ได้ คือใช้สร้างข้อมูลที่มีการแจกแจงแบบปกติหลายตัวแปร (多元正态分布, multivariate normal distribution)

โดยพื้นฐานแล้ว numpy มีฟังก์ชันสำหรับสร้างข้อมูลสุ่มอยู่มากมาย ส่วนหนึ่งได้เขียนถึงไปแล้วใน https://phyblas.hinaboshi.com/numa15

แต่ในนี้จะขอแนะนำฟังก์ชัน np.random.multivariate_normal() ซึ่งไว้ใช้สร้างการแจกแจงแบบปกติหลายตัวแปร

การจะใช้ได้จำเป็นต้องอาศัยความเข้าใจเรื่องความแปรปรวนร่วมเกี่ยวและสหสัมพันธ์



การแจกแจงแบบปกติตัวแปรเดียว

ก่อนอื่นมาทวนเรื่องการแจกแจงแบบปกติตัวแปรเดียวก่อน

การแจกแจงแบบปกติ (正态分布, normal distribution) หรืออาจเรียกว่า การแจกแจงแบบเกาส์ (高斯分布, Gaussian distribution) เป็นการแจกแจงในรูปแบบที่ใช้บ่อยที่สุด

การแจกแจงแบบปกติเป็นการแจกแจงที่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ ๒​ ตัวที่ต้องกำหนดคือ
- μ คือ จุดกึ่งกลาง
- σ คือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

โดยความหนาแน่นของการแจกแจงจะเป็นไปตามสมการนี้
$f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{- {{(x-\mu )^2 \over 2\sigma^2}}}$ ..(1)

หากเขียนเป็นฟังก์ชันในไพธอนแล้ววาดกราฟจะเป็นแบบนี้

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def pakati(x,mu,sigma):
    return np.exp(-(x-mu)**2/(2*sigma**2))/np.sqrt(2*np.pi)/sigma
x = np.linspace(0,2,101)
y = pakati(x,1,0.3)
plt.plot(x,y,'r')
plt.show()

กราฟเป็นรูประฆังคว่ำ ค่าจะมากสุดที่จุด μ และค่อยๆลดลงเมื่อยิ่งห่างออกไป อัตราการลดลงจะเร็วแค่ไหนขึ้นอยู่กับ σ



หากสร้างค่าสุ่มให้แจกแจงแบบปกติโดยกำหนดค่า μ และ σ ที่ค่าหนึ่ง เมื่อนำมาหาค่าเฉลี่ยก็จะได้ประมาณ μ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานก็จะได้ประมาณ σ

ในไพธอนสามารถสร้างการแจกแจงแบบปกติได้ด้วยฟังก์ชัน np.random.normal พารามิเตอร์คือ (μ, σ, จำนวนที่ต้องการสุ่ม)

s = np.random.normal(1,0.3,10000)
plt.hist(s,100,color='r')
plt.show()

print(s.mean()) # ได้ 0.9987304195735669
print(s.std()) # ได้ 0.2962901261818392

หากลองสร้างสองตัวแปรที่แจกแจงแบบปกติพร้อมกันแล้วหาความแปรปรวนร่วมเกี่ยวดู

x = np.random.normal(12,2,100000)
y = np.random.normal(27,1,100000)
plt.axes(aspect=1,xlim=[x.min(),x.max()],ylim=[y.min(),y.max()])
plt.scatter(x,y,c='r',edgecolors='k',alpha=0.01)
plt.show()
print(np.cov(x,y))

จะได้ว่าค่าในแนวทแยงก็คือค่า σ กำลังสอง ส่วนขวาบนซ้ายล่างเข้าใกล้ 0 นั่นเพราะทั้ง ๒ ตัวแปรถูกสุ่มอย่างอิสระไม่ได้เกี่ยวข้องต่อกันเลย

แต่ว่าในธรรมชาติโดยทั่วไปแล้ว ตัวแปรสองตัวที่มีการแจกแจงแบบปกติอาจมีความเกี่ยวพันกัน เช่นพอตัวนึงมากอีกตัวนึงก็มีแนวโน้มมากหรือน้อยตาม

กรณีแบบนี้จะต้องสร้างตัวแปรทั้งสองพร้อมกันด้วยการแจกแจงแบบปกติหลายตัวแปร



การแจกแจงแบบปกติหลายตัวแปร

หากมีตัวแปร x และ y ที่ต้องการให้แจกแจงแบบปกติโดยมีความเกี่ยวเนื่องกัน อาจเขียนสมการการแจกแจงได้ดังนี้
$\begin{align} f(x,y) &= \frac{1}{2 \pi \sigma_x \sigma_y \sqrt{1-\rho^2_{xy}}} \exp\left( -\frac{1}{2(1-\rho^2_{xy})}\left[ \frac{(x-\mu_x)^2}{\sigma_x^2} + \frac{(y-\mu_y)^2}{\sigma_y^2} - \frac{2\rho_{xy}(x-\mu_x)(y-\mu_y)}{\sigma_x \sigma_y} \right] \right)\\ \end{align}$ ..(2)

โดย ρ_xy คือค่าสหสัมพันธ์ของ x และ y
$\rho_{xy} = \frac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sigma_x \sigma_y}$ ..(3)

จะเห็นว่าเดิมทีที่เป็นแค่ (x-μ_x)² ได้ถูกเปลี่ยนมาเป็นก้อนที่ซับซ้อนมากขึ้น มีทั้งส่วนร่วมของ x และ y อยู่ด้วยกัน

สมการอาจเขียนเป็นรูปทั่วไปด้วยเมทริกซ์ได้แบบนี้
$f(\mathbf x) = f(x_1,\ldots,x_k) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{k}|\boldsymbol\Sigma|}} \exp\left(-\frac{1}{2}({\mathbf x}-{\boldsymbol\mu})^\mathrm{T}{\boldsymbol\Sigma}^{-1}({\mathbf x}-{\boldsymbol\mu}) \right)$ ..(4)

โดย x ในที่นี้ใช้ตัวหนา หมายถึงเป็นปริมาณเวกเตอร์

Σ คือเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเกี่ยว โดย |Σ| คือดีเทอร์มิแนนต์ (determinant) ของเมทริกซ์ Σ

กรณีที่มีตัวแปรแค่ x และ y นั้น Σ จะเป็นแบบนี้
$\boldsymbol\mu = \begin{bmatrix} \mu_x \\ \mu_y \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_x^2 & \rho_{xy} \sigma_x \sigma_y \\ \rho_{xy} \sigma_x \sigma_y & \sigma_y^2 \end{bmatrix}$ ..(5)

กรณีที่มีหลายตัวแปรจะได้ว่า
$\boldsymbol\mu = \begin{bmatrix} \mu_{x_1} \\ \mu_{x_2} \\ \vdots \\ \mu_{x_n} \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{x_1}^2 & \rho_{x_1x_2} \sigma_{x_1} \sigma_{x_2} & \cdots & \rho_{x_1x_n} \sigma_{x_1} \sigma_{x_n} \\ \rho_{x_1x_2} \sigma_{x_1} \sigma_{x_2} & \sigma_{x_2}^2 & \cdots & \rho_{x_2x_n} \sigma_{x_2} \sigma_{x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \rho_{x_1x_n} \sigma_{x_1} \sigma_{x_n} & \rho_{x_2x_n} \sigma_{x_2} \sigma_{x_n} & \cdots & \sigma_{x_n}^2 \end{bmatrix}$ ..(6)

ส่วน x-μ ในที่นี้คือเวกเตอร์ที่แสดงถึงระยะห่างจากจุดกึ่งกลางของตัวแปรต่างๆ เมื่อนำมาคูณประกบกันกับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเกี่ยวในลักษณะแบบนี้สิ่งที่ได้ก็คือสิ่งที่เรียกว่า ระยะทางมหาลโนพิส (Mahalanobis distance)
$\operatorname{Mahalanobis} = \sqrt{({\mathbf x}-{\boldsymbol\mu})^\mathrm{T}{\boldsymbol\Sigma}^{-1}({\mathbf x}-{\boldsymbol\mu})}$ ..(7)

ชื่อที่ฟังดูยืดยาวจำยากนี้ถูกตั้งตามนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียชื่อ ประศานตะ จันทระ มหาลโนพิส (प्रशान्त चन्द्र महालनोबिस)

เมื่อสมการอยู่ในรูปเมทริกซ์แบบนี้อาจดูแล้วเข้าใจยากหน่อย แต่ในแง่ของการเขียนโปรแกรมคำนวณแล้วเป็นอะไรที่สะดวก เพราะเมทริกซ์นึงคือตัวแปรตัวนึง

ในไพธอนเมทริกซ์จะเขียนอยู่ในรูปตัวแปรชนิดอาเรย์ของ numpy ส่วนการคูณกันของเว็กเตอร์ จะใช้คำสั่ง .dot()

ส่วนการหาดีเทอร์มิแนนท์ก็มีคำสั่ง np.linalg.det() การหาเมทริกซ์ผกผันก็ใช้ np.linalg.inv()

เราอาจเขียนโปรแกรมให้คำนวณตามสมการ (4) ได้ดังนี้

def pakati(X,mu,cov):
    d = X-mu
    k = len(d)
    det = np.linalg.det(cov)
    inv = np.linalg.inv(cov)
    m = d.T.dot(inv).dot(d) # กำลังสองของระยะห่าง mahalanobis
    return np.exp(-m/2)/np.sqrt((2*np.pi)**k*det)

นอกจากนี้ใน scipy ได้เตรียมฟังก์ชันแบบนี้ไว้ คือ scipy.stats.multivariate_normal.pdf ใช้อันนี้ได้เลย

ลองนำมาใช้วาดแผนภาพแสดงการแจกแจงในสองมิติดู โดยแสดงผลดูทั้งแบบสามมิติและแบบคอนทัวร์

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from scipy.stats import multivariate_normal

mu = np.array([0,0])
cov = np.array([[1.2,0.8],[0.8,0.9]])
mx,my = np.meshgrid(np.linspace(-4,4,51),np.linspace(-4,4,51))
mX = np.stack([mx,my],2)
mz = multivariate_normal.pdf(mX,mu,cov)
ax = plt.figure(figsize=[6,6]).add_axes([0,0,1,1],projection='3d')
ax.plot_surface(mx,my,mz,rstride=1,cstride=1,alpha=0.2,edgecolor='k',cmap='rainbow')
plt.figure()
plt.axes(aspect=1)
plt.contourf(mx,my,mz,40,cmap='rainbow')
plt.colorbar()
plt.show()

ส่วนการสร้างค่าสุ่มตามการแจกแจงแบบปกติหลายตัวแปรในไพธอนมีฟังก์ชัน np.random.multivariate_normal

วิธีใช้คือ np.random.multivariate_normal(จุดกึ่งกลาง, เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเกี่ยว, จำนวนที่ต้องการสุ่ม)

ตัวอย่าง

mu = np.array([10,5])
cov = np.array([[1.8,1.1],[1.1,1.5]])
X = np.random.multivariate_normal(mu,cov,20000)
plt.figure()
plt.axes(aspect=1)
plt.scatter(X[:,0],X[:,1],edgecolors='k',color='r',alpha=0.01)
plt.show()

การสร้างเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเกี่ยวด้วยวิธีเคอร์เนล

เพื่อที่จะสร้างข้อมูลสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติหลายตัวแปร เราจำเป็นต้องมีเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเกี่ยว

ปกติถ้าเราสร้างเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเกี่ยวขึ้นมาจากการคำนวณ เช่น มีชุดข้อมูลอยู่แล้วนำมาคำนวณด้วยฟังก์ชัน np.cov แบบนั้นแน่นอนว่าเมทริกซ์ที่ได้สามารถนำมาใช้ได้

แต่ถ้าอยู่ดีๆจะสร้างเมทริกซ์ขึ้นมาแล้วนำมาใช้ละก็แบบนั้นไม่ใช่ว่าจะใช้ได้เสมอไป เพราะเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเกี่ยว โดยทั่วไปมีข้อกำหนดว่า
- ต้องเป็นเมทริกซ์จตุรัส
- ต้องเป็นเมทริกซ์สมมาตร
- ต้องสามารถหาเมทริกซ์ผกผันได้

วิธีหนึ่งที่มักใช้ในการสร้างเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเกี่ยวให้ได้ตามที่ต้องการคือ สร้างจากเคอร์เนล (kernel) คือการนำสมาชิกของตัวแปรชุดนึงทั้งหมดมาจับคู่กระทำอะไรบางอย่างกันแล้วเขียนให้อยู่ในรูปเมทริกซ์
$\boldsymbol\Sigma = \begin{bmatrix} k(x_1,x_1) & k(x_1,x_2) & \cdots & k(x_1,x_n) \\ k(x_2,x_1) & k(x_2,x_2) & \cdots & k(x_2,x_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k(x_n,x_1) & k(x_n,x_2) & \cdots & k(x_n,x_n) \end{bmatrix}$ ..(8)

โดยในที่นี้ k คือฟังก์ชันที่นำตัวแปร ๒ ตัวมาใช้คำนวณ มักเรียกกันว่าเคอร์เนล

เมทริกซ์ที่ได้จากการจับคู่ทำอะไรกันในลักษณะนี้มีชื่อเรียกว่า เมทริกซ์กรัม (格拉姆矩阵, Gramian matrix) เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเกี่ยวนั้นโดยทั่วไปถือว่าเป็นเมทริกซ์กรัมชนิดหนึ่ง

ฟังก์ชันที่มักใช้เป็นเคอร์เนลนั้นมีอยู่หลากหลายรูปแบบ

เช่นแบบที่ง่ายที่สุดคือ มีค่าค่าหนึ่งเฉพาะเมื่อ x และ y เท่ากัน คือ
$k(x,y) = a^2\delta_{xy}$ ..(9)

โดยในที่นี้ a คือค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

เขียนในไพธอนได้แบบนี้

def kernel(x,a):
    x1,x2 = np.meshgrid(x,x)
    return a**2*(x1==x2)

เมื่อใช้คำนวณก็จะได้ผลที่เป็นแบบที่เรียบง่ายที่สุดก็คือเมทริกซ์แนวทแยง คือมีค่าแต่ในแนวทแยงนอกนั้น 0 ซึ่งจะหมายถึงว่าตัวแปรทั้งหมดมีการแจกแจงในตัวเองที่เป็นอิสระจากตัวแปรอื่นใด

$\boldsymbol\Sigma = \begin{bmatrix} a^2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a^2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a^2 \end{bmatrix}$ ..(10)

หากนำเมทริกซ์แบบนั้นมาใช้สร้างข้อมูลที่เป็นอนุกรมเวลาก็จะได้ข้อมูลที่เป็นการสุ่มแยกกันโดยสมบูรณ์ ค่าของจุดก่อนและหลังไม่มีผลต่อจุดนั้นๆเลย

เช่น

def kernel(x,a):
    x1,x2 = np.meshgrid(x,x)
    return a**2*(x1==x2)

x = np.linspace(0,100,101)
mu = np.zeros(101)
cov = kernel(x,1)
y = np.random.multivariate_normal(mu,cov)
plt.plot(x,y,'r-o')
plt.show()

เคอร์เนลกำลังสองเอ็กซ์โพเนนเชียล

ในการสร้างข้อมูลที่เป็นอนุกรมเวลาที่ค่าในจุดนึงสัมพันธ์กับจุดก่อนและหลัง เคอร์เนลแบบหนึ่งที่นิยมใช้กันมากก็คือกำลังสองเอ็กซ์โพเนนเชียล (squared-exponential)
$k(x,y) = a^2e^{-\frac{(x-y)^2}{2s^2}}$ ..(11)
$\boldsymbol\Sigma = \begin{bmatrix} a^2 & a^2e^{-\frac{(x_1-x_2)^2}{2s^2}} & \cdots & a^2e^{-\frac{(x_1-x_n)^2}{2s^2}} \\ a^2e^{-\frac{(x_2-x_1)^2}{2s^2}} & a^2 & \cdots & a^2e^{-\frac{(x_2-x_n)^2}{2s^2}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a^2e^{-\frac{(x_n-x_1)^2}{2s^2}} & a^2e^{-\frac{(x_n-x_2)^2}{2s^2}} & \cdots & a^2 \end{bmatrix}$ ..(12)

โดย a เป็นตัวกำหนดขนาดการแจกแจง (ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน) ส่วน s กำหนดขนาดระยะที่ความเกี่ยวพันจะส่งผลไปถึง

สามารถสร้างฟังก์ชันเคอร์เนลตามสมการได้ดังนี้

def kernel(x,a,s):
    x1,x2 = np.meshgrid(x,x)
    return a**2*np.exp(-0.5*((x1-x2)/s)**2)

แล้วลองนำเคอร์เนลมาใช้สร้างเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเกี่ยวสำหรับข้อมูลอนุกรมเวลา

x = np.linspace(0,100,101)
cov = kernel(x,2,5)
plt.imshow(cov,cmap='afmhot')
plt.colorbar()
plt.show()

จะได้ค่าสูงสุดที่แนวทแยง โดยมีค่าเป็น a ยกกำลังสอง และค่อยๆลดลงเมื่อห่างออกไป



จากนั้นก็นำมาใช้ สุ่มสร้างอนุกรมเวลา โดยลองเทียบค่า s ต่างกัน สร้างดูสักแบบละ ๕ เส้น

plt.figure(figsize=[5,6])
x = np.linspace(0,100,201)
mu = np.zeros(201)
for i in range(1,4):
    s = 3**i
    cov = kernel(x,10,s)
    y = np.random.multivariate_normal(mu,cov,5)
    plt.subplot(3,1,i)
    plt.plot(x,y.T)
    plt.ylabel('s=%d'%s)
plt.tight_layout()
plt.show()

จะเห็นว่าแต่ละเส้นที่ได้มีลักษณะที่มีการเปลี่ยนแปลงไปทีละเล็กน้อย ค่าในจุดนึงจะขึ้นอยู่กับจุดก่อนหลัง ไม่ได้โดดไปไกลนัก และยิ่งค่า s มากขึ้น ความเปลี่ยนแปลงก็จะยิ่งน้อย



นอกจากนี้เรายังอาจเอาเคอร์เนลมารวมกันได้ เช่น
$k(x,y) = a_1^2e^{-\frac{(x-y)^2}{2s^2}} + a_2^2\delta_{xy}$ ..(13)

def kernel(x,a1,s,a2):
    x1,x2 = np.meshgrid(x,x)
    return a1**2*np.exp(-0.5*((x1-x2)/s)**2) + a2**2*(x1==x2)

แบบนี้จะได้การเปลี่ยนแปลงที่โดยรวมแล้วมีลักษณะค่อยเป็นค่อยไปตามเวลา แต่ก็มีการเปลี่ยนแปลงขึ้นลงจากความไม่แน่นอนภายในตัว

x = np.linspace(0,100,501)
mu = np.zeros(501)
cov = kernel(x,20,15,2)
y = np.random.multivariate_normal(mu,cov,8)
plt.plot(x,y.T)
plt.show()

การเปลี่ยนแปลงแบบเป็นคาบ

บางครั้งเราอาจต้องการสุ่มสร้างค่าบางอย่างที่มีการเปลี่ยนแปลงแบบเป็นคาบ (periodic) คือเมื่อถึงจุดนึงจะกลับมามีค่าเท่าเดิม กรณีแบบนี้นิยมใช้เคอร์เนลแบบไซน์กำลังสองเอ็กซ์โพเนนเชียล (exp-sine-squared kernel)
$k(x,y) = a^2e^{-\frac{2}{\lambda^2}\sin^2\left(\frac{\pi(x-y)}{\tau}\right)}$ ..(14)

def kernel(x,a,tau,l):
    x1,x2 = np.meshgrid(x,x)
    return a**2*np.exp(-2*(np.sin((x1-x2)*np.pi/tau)/l)**2)

ในที่นี้ τ คือคาบ คือเป็นตัวกำหนดว่าไปไกลแค่ไหนจะกลับมาวนซ้ำ

ส่วน s คือตัวกำหนดว่าจะมีความเปลี่ยนแปลงขึ้นลงบ่อยแค่ไหนในคาบ ยิ่งน้อยยิ่งขึ้นลงมาก

ลองดูค่าในเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเกี่ยวที่ได้จากการคำนวณ

x = np.linspace(0,100,101)
cov = kernel(x,1,20,1)
plt.imshow(cov,cmap='afmhot',vmin=0,vmax=1)
plt.colorbar()
plt.show()

ลองนำมาใช้แล้ววาดกราฟดู

x = np.linspace(0,100,501)
mu = np.zeros(501)
plt.figure(figsize=[6,6])
for i in range(1,4):
    l = 4**(i-2)
    cov = kernel(x,10,40,l)
    y = np.random.multivariate_normal(mu,cov,5)
    plt.subplot(3,1,i)
    plt.plot(x,y.T)
    plt.ylabel(r'$\lambda$=%.2f'%l)
plt.tight_layout()
plt.show()

การเปลี่ยนแปลงแบบเกือบเป็นคาบ

บางครั้งเราอาจต้องการได้ค่าที่มีการเปลี่ยนแปลงเป็นคาบ แต่ไม่ได้เหมือนเดิมตลอดทุกคาบ แต่ในแต่ละคาบมีการเปลี่ยนแปลงไปทีละน้อย ลักษณะแบบนั้นเรียกว่า quasi-periodic ซึ่งอาจแปลเป็นไทยว่า "เกือบเป็นคาบ"

เราสามารถทำเคอร์เนลในลักษณะนี้ได้โดยเอาเคอร์เนลแบบไซน์กำลังสองเอ็กซ์โพเนนเชียลมาคูณกับกำลังสองเอ็กซ์โพเนนเชียล กลายเป็นแบบนี้
$k(x,y) = a^2e^{-\frac{2}{\lambda^2}\sin^2\left(\frac{\pi(x-y)}{\tau}\right)-\frac{(x-y)^2}{2s^2}}$ ..(15)

ตัวอย่าง

def kernel(x,a,tau,l,s):
    x1,x2 = np.meshgrid(x,x)
    dx = x1-x2
    return a**2*np.exp(-2*(np.sin(dx*np.pi/tau)/l)**2-0.5*(dx/s)**2)

x = np.linspace(0,100,501)
mu = np.zeros(501)
plt.figure(figsize=[6,6])
for i in range(1,4):
    s = 3**i*10
    cov = kernel(x,10,20,2,s)
    y = np.random.multivariate_normal(mu,cov,5)
    plt.subplot(3,1,i)
    plt.plot(x,y.T)
    plt.ylabel(r's=%.2f'%s)
plt.tight_layout()
plt.show()

ค่าจะกลับมาเหมือนเดิมทุก 20 แต่ไม่ได้เหมือนกันเป๊ะ แต่ยิ่ง s มาก ความแตกต่างของแต่ละรอบก็จะยิ่งน้อยลง



นี่เป็นแค่คัวอย่างส่วนหนึ่งเท่านั้น นอกจากนี้ยังมีรูปแบบการใช้อยู่อีกมากมายสามารถไปลองศึกษาเพิ่มเติมกันได้

สรุปเนื้อหาทั้งหมดนี้น่าจะทำให้เข้าใจวิธีการสร้างชุดข้อมูลจากการสุ่มค่าด้วยฟังก์ชัน np.random.multivariate_normal ตามที่ต้องการกันได้ไม่มากก็น้อยแล้ว

~ 自己紹介 ~

目次

日本による名言集

python モジュール -- numpy -- matplotlib -- pandas -- manim -- opencv -- pyqt -- pytorch 機械学習 -- ニューラル      ネットワーク

javascript

モンゴル語

言語学

maya

確率論

日本での日記

中国での日記 -- 北京での日記 -- 香港での日記 -- 澳門での日記

台灣での日記

北欧での日記

他の国での日記

qiita

その他の記事

記事の類別

==เลือกหมวด== ดาราศาสตร์ คณิตศาสตร์ -ความน่าจะเป็น คอมพิวเตอร์ -เขียนโปรแกรม --python ---numpy ---scipy ---matplotlib ---pandas ---manim ---pyqt ---sklearn ---pytorch ---mayapython --ruby --javascript --dart --MATLAB --SQL --regex --opencv -shell -3D --maya --MMD -microsoft_office -pdf -ปัญญาประดิษฐ์ --โครงข่ายประสาทเทียม --สเตเบิลดิฟฟิวชัน ---comfyui -การสุ่ม ภาษาศาสตร์ -ตัวอักษร -เรียนภาษา -หลักเกณฑ์การทับศัพท์ -ภาษาจีน --ภาษาจีนกลาง -ภาษาญี่ปุ่น -ภาษามองโกล -ภาษาลาว -ภาษาเขมร ประวัติศาสตร์ -ประวัติศาสตร์จีน -ประวัติศาสตร์ญี่ปุ่น ปรัชญา ประเทศจีน -จีนแผ่นดินใหญ่ --ปักกิ่ง --เทียนจิน --เหลียวหนิง --เหอเป่ย์ --เหอหนาน --ซานตง --ซานซี --อานฮุย --เจ้อเจียง --หูเป่ย์ --หูหนาน --ฝูเจี้ยน --กวางตุ้ง ---แต้จิ๋ว --ยูนนาน --ซินเจียง -ฮ่องกง -มาเก๊า -ไต้หวัน --ไทเป --จีหลง --เถาหยวน --ซินจู๋ --เหมียวลี่ --ไถจง --จางฮว่า --หยวินหลิน --เจียอี้ --ไถหนาน --เกาสยง --ผิงตง --อี๋หลาน ประเทศญี่ปุ่น -ฮกไกโด -อาโอโมริ -อิวาเตะ -มิยางิ -อากิตะ -ยามางาตะ -ฟุกุชิมะ -อิบารากิ -โทจิงิ -กุมมะ -ไซตามะ -จิบะ -โตเกียว -คานางาวะ -นีงาตะ -โทยามะ -อิชิกาวะ -ฟุกุอิ -ยามานาชิ -นางาโนะ -กิฟุ -ชิซึโอกะ -ไอจิ -มิเอะ -ชิงะ -เกียวโต -โอซากะ -เฮียวโงะ -นาระ -วากายามะ -โอกายามะ -ฮิโรชิมะ -ยามางุจิ -ฟุกุโอกะ -ซางะ -นางาซากิ -คุมาโมโตะ -โออิตะ ต่างแดน -อุษาคเนย์ --กัมพูชา --พม่า --สิงคโปร์ -ยุโรป --สวีเดน --เดนมาร์ก --ฟินแลนด์ -ออสเตรเลีย ท่องเที่ยว -มหาวิทยาลัย -พิพิธภัณฑ์ --พิพิธภัณฑ์วิทยาศาสตร์ --หอศิลป์ -สวนสัตว์ --พิพิธภัณฑ์สัตว์น้ำ -ท้องฟ้าจำลอง -ตึกระฟ้า -ปราสาท☑ --ปราสาทญี่ปุ่น --ปราสาทขอม --ปราสาทยุโรป -ศาสนสถาน --วัด --ศาลเจ้า --โบสถ์ --มัสยิด -สุสาน -มรดกโลก -ทะเล -ทะเลสาบ -ภูเขา -หิมะ -ดอกซากุระ -แมว -รถไฟ -เรือ -ตลาดกลางคืน -งานเทศกาล -ที่ระลึกภัยพิบัติ -ตามรอย บันเทิง -เกม --อาเตอลีเย --โปเกมอน --caligula --vn -อนิเมะ -มังงะ -นิยาย -เพลง --เพลงอนิเมะ --เพลงเกม เรื่องแต่ง บันทึก

　 記事を検索

　 最新記事

　 おすすめの記事

月別記事

もっと前の記事

ไทย

日本語

中文