φυβλαςのβλογ
บล็อกของ phyblas



[python] วิเคราะห์ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรจากค่าความแปรปรวนร่วมเกี่ยวและสหสัมพันธ์
เขียนเมื่อ 2018/05/17 10:43
บทความนี้เขียนขึ้นเพื่อเป็นเนื้อหาคณิตศาสตร์เสริมประกอบบทเรียนเรื่องการเรียนรู้ของเครื่อง

ในนี้จะมีการแสดงสมการอธิบาย พร้อมกับโค้ดไพธอนคำนวณเป็นตัวอย่างเพื่อประกอบความเข้าใจด้วย



ในการเรียนรู้ของเครื่องนั้นเรามักจะต้องเผชิญกับตัวแปรต่างๆมากมาย ซึ่งพัวพันอยู่ในปัญหาที่เราต้องการแก้

ในระหว่างวิเคราะห์ค่าตัวแปรต่างๆนั้นสิ่งสำคัญอย่างหนึ่งที่อาจต้องพิจารณาก็คือการกระจายของค่าตัวแปรต่างๆ และความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรต่างๆ

เช่นถ้าตัวแปรนี้เพิ่มแล้ว อีกตัวแปรจะมีแนวโน้มเพิ่มตามหรือเปล่า หรือว่าไม่เกี่ยวข้องอะไรกันเลย นั่นคือสิ่งที่น่าจะต้องการจะรู้

สิ่งที่จะบอกว่าตัวแปรสองตัวมีความสัมพันธ์กันยังไง มีการแปรผันไปตามกันมากแค่ไหนนั้น อาจหาจากค่า
- ความแปรปรวนร่วมเกี่ยว (协方差, covariance)
- สหสัมพันธ์ (相关系数, correlation)

เมื่อคำนวณทั้ง ๒ อย่างนี้ จะช่วยให้สามารถวิเคราะห์และเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรได้



ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ความแปรปรวนร่วมเกี่ยวนั้นเป็นคำที่มาจากความแปรปรวน (方差, variance) แล้วก็เติมคำว่า ร่วมเกี่ยว (co) เข้าไป จึงหมายถึงว่าค่าความแปรปรวนจากการพิจารณาตัวแปรต่างๆ

ดังนั้นก่อนอื่นต้องเข้าใจก่อนว่าความหมายของความแปรปรวนในทางคณิตศาสตร์หมายถึงอะไร

ความแปรปรวนหมายถึงค่าคาดหมายของกำลังสองของความต่างจากค่าคาดหมายของตัวแปรนั้น
..(1)

โดยในที่นี้ E หมายถึงค่าคาดหมาย (期望值, expected value)

ค่าคาดหมาย ถ้าให้อธิบายง่ายๆก็คือค่าเฉลี่ยนั่นเอง เพียงแต่ว่าในกรณีที่ค่าแต่ละตัวมีการถ่วงน้ำหนักค่าความคาดหมายจะต้องคิดค่าน้ำหนักด้วย ซึ่งจะต่างไปจากค่าเฉลี่ย แต่ในที่นี้ไม่จำเป็นต้องพูดถึง ดังนั้นให้ถือว่าเป็นค่าเฉลี่ย

รากที่สองของความแปรปรวนเรียกว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (标准差, standard deviation) มักเขียนแทนด้วย σ
..(2)

ตัวอย่าง สมมุติมีค่าตัวแปรชุดนึง มีค่าดังนี้
import numpy as np
x = np.array([4.4,1.4,8.7,9.2,4.3,6.0,4.2,9.4])

สามารถหาค่าความแปรปรวนได้ดังนี้
m = x.mean() # หรือ np.mean(x)
var = ((m-x)**2).mean() # หรือ np.mean((m-x)**2)
print(var) # ได้ 7.365

แต่ว่า numpy ได้เตรียมวิธีการหาค่าความแปรปรวนไว้อยู่แล้ว คือฟังก์ชัน var
var = x.var() # หรือ np.var(x)



การคำนวณความแปรปรวนร่วมเกี่ยวและสหสัมพันธ์

สมมุติว่ามีตัวแปรที่พิจารณาอยู่ ๒ ตัว x และ y

ความแปรปรวนร่วมเกี่ยวคำนวณได้จากค่าคาดหมายของผลคูณระหว่างความต่างจากค่าคาดหมายของตัวแปรทั้งสอง นั่นคือ
..(3)

โดยที่
..(4)

ส่วนค่าสหสัมพันธ์จะมีค่าเท่ากับความแปรปรวนร่วมเกี่ยวหารด้วยผลคูณของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
..(5)

ยกตัวอย่าง สมมุติว่า ร้านอาหารแห่งหนึ่งต้องการเทียบปริมาณกาแฟร้อนที่ขายได้ในแต่ละวันเทียบกับอุณหภูมิสูงสุดของแต่ละวัน เมื่อวาดการกระจายออกมาได้ผลดังนี้



อาจเขียนโค้ดในไพธอนได้ดังนี้
import matplotlib.pyplot as plt
# อุณหภูมิ
x = np.array([36.9,32.1,29.7,26.7,33.4,27.1,33.3,34.8,27.3,38.5])
# จำนวนกาแฟร้อนที่ขายได้
y = np.array([147,181,172,193,169,191,165,143,187,141])
plt.xlabel(u'อุณหภูมิ (องศา)',family='Tahoma',size=14)
plt.ylabel(u'กาแฟร้อนที่ขายได้',family='Tahoma',size=14)
plt.scatter(x,y)
plt.show()

สามารถหาค่าความแปรปรวนร่วมเกี่ยวและสหสัมพันธ์ได้ด้วยสมการ (3) และ (5) ข้างต้น นำมาเขียนเป็นโค้ดได้ดังนี้
mu = x.mean() # μ
nu = y.mean() # ν
# ความแปรปรวนร่วมเกี่ยว
cov = ((x-mu)*(y-nu)).mean()
print(cov) # ได้ -69.31199999999998
var_x = ((x-mu)**2).mean()
var_y = ((y-nu)**2).mean()
# สหสัมพันธ์
cor = cov/np.sqrt(var_x*var_y) # หรือ cov/x.std()/y.std()
print(cor) # ได้ -0.9347400061127582

ค่าที่ได้มานี้เป็นลบ บอกแนวโน้มว่ายิ่งอุณหภูมิสูงก็ยิ่งขายกาแฟร้อนได้น้อย



การตีความค่าความแปรปรวนร่วมเกี่ยวและสหสัมพันธ์

เพื่อให้เห็นภาพรวมชัดขึ้น ลองสร้างภาพแสดงตัวอย่างเปรียบเทียบระหว่างลักษณะการกระจายและค่าความแปรปรวนร่วมเกี่ยวและสหสัมพันธ์ที่ได้ดูได้ดังนี้



โดยเลขตัวบนคือความแปรปรวนร่วมเกี่ยว ตัวล่างคือสหสัมพันธ์

โค้ดที่ใช้สร้างภาพนี้คือ
def coco(x,y,i):
    mu = x.mean()
    nu = y.mean()
    cov = ((x-mu)*(y-nu)).mean()
    var_x = ((x-mu)**2).mean()
    var_y = ((y-nu)**2).mean()
    cor = cov/np.sqrt(var_x*var_y)
    plt.subplot(3,3,i)
    plt.text(0,0,'%.2f\n%.2f'%(cov,cor),size=30,ha='center',va='center',color='r')
    plt.scatter(x,y,marker='.',alpha=0.01)

n = 20000
x = np.random.uniform(-5,5,n)
plt.figure(figsize=[10,10])
coco(x,x*2,1)
coco(x,x**2/2-6,2)
coco(x,-x*2,3)
coco(x,x*2+np.random.uniform(-5,5,n),4)
coco(x,np.random.uniform(-5,5,n),5)
coco(x,-x*2+np.random.uniform(-5,5,n),6)
coco(x,x*2+np.random.uniform(-20,20,n),7)
coco(x,x**2/2-6+np.random.uniform(-8,8,n),8)
coco(x,-x*2+np.random.uniform(-20,20,n),9)
plt.show()

จะเห็นว่าทั้งความแปรปรวนร่วมเกี่ยวและสหสัมพันธ์นั้นเมื่อดูว่าค่าเป็นบวกหรือลบสามารถบอกได้คร่าวๆว่า
- หากค่าเป็นบวก จะบ่งบอกถึงว่าเมื่อ x เพิ่ม y ก็มีแนวโน้มจะเพิ่มด้วย
- หากเป็นลบ หมายถึงว่าเมื่อ x เพิ่ม y ก็มีแนวโน้มจะลด
- แต่ถ้าเป็น 0 นั่นหมายความว่าไม่ว่า x จะเพิ่มหรือลดยังไงก็ไม่อาจบอกได้ว่า y จะเพิ่มหรือว่าลด

เพียงแต่ว่า ต่อให้ค่าเป็น 0 ก็ไม่ได้หมายความว่า x หรือ y ไม่ได้มีความสัมพันธ์ใดๆกัน เพียงแต่อาจแค่เพราะความสัมพันธ์นั้นมีการกระจายในช่วงบวกและลบพอๆกันจนหักล้างกัน

เช่นในกรณี x≈y2 เป็นต้น มีช่วงนึงที่ y เพิ่มตาม x และอีกช่วง y ลดเมื่อ x เพิ่ม ทั้งสองส่วนหักล้างกันหมด

ที่จริงแถวตรงกลางตามหลักแล้วควรจะเป็น 0 ทั้งหมด แต่เนื่องจากความไม่แน่นอนในการสุ่มจึงทำให้เบี่ยงเบนไปจาก 0 เล็กน้อย

ข้อแตกต่างของความแปรปรวนร่วมเกี่ยวและสหสัมพันธ์ก็คือ สหสัมพันธ์จะมีการหารค่าความแปรปรวนที่เกิดขึ้นภายในตัวแปรเอง ทำให้ค่าที่ได้ไม่ขึ้นอยู่กับความแปรปรวนภายใน และค่าจะอยู่ระหว่าง -1 ถึง 1 เสมอ

โดยถ้าสหสัมพันธ์เป็น 1 แสดงว่า x ∝ y โดยสมบูรณ์ ถ้าเป็น -1 หมายถึง x ∝ -y

ดังนั้นถ้าต้องการจะบอกว่าตัวแปรสองตัวมีการแปรเปลี่ยนไปตามกันมากแค่ไหนเมื่อเทียบกับความแปรปรวนในตัวแปรนั้นๆเอง ดูค่าสหสัมพันธ์จะบอกได้ชัดกว่า

ในขณะที่ถ้าต้องการรู้ทั้งความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรพร้อมกับความแปรปรวนภายในด้วย ต้องดูค่าความแปรปรวนร่วมเกี่ยว



การแสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรในรูปเมทริกซ์

ในการอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรหลายตัว ความแปรปรวนร่วมเกี่ยวอาจถูกเขียนออกมาในรูปแบบของเมทริกซ์ โดยนำตัวแปรทั้งหมดที่มีมาจับคู่กันให้หมด เรียกว่าเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเกี่ยว (协方差矩阵, covariance matrix)

กรณีที่มีแค่ ๒ ตัวแปร x และ y จะได้เมทริกซ์จตุรัสขนาด 2×2 แบบนี้
..(6)

และถ้าหากมีหลายตัวแปร เช่นเป็น x1,x2,...,xn ก็จะออกมาเป็นแบบนี้ ความกว้างและความสูงของเมทริกซ์จะเท่ากับจำนวนตัวแปร
..(7)

จะเห็นได้ว่าเมทริกซ์ที่ได้จะเป็นเมทริกซ์สมมาตรเสมอ คือส่วนบนขวาและซ้ายล่างมีค่าเท่ากัน เพราะการคูณมีสมบัติการสลับที่

โดยในส่วนแนวทแยงนั้นคือส่วนที่พิจารณาความแปรปรวนร่วมเกี่ยวของตัวแปรตัวเดียวกัน ซึ่งที่ได้ออกมาก็คือค่าความแปรปรวนของตัวแปรนั้นเอง ซึ่งเป็นสิ่งที่บ่งบอกถึงขนาดของการกระจายที่เกิดจากตัวแปรนั้นๆเองโดยไม่เกี่ยวกับตัวอื่น

ส่วนสหสัมพันธ์จะเป็นแบบนี้

กรณี ๒ ตัวแปร
..(8)

กรณีหลายตัวแปร
..(9)

จะเห็นว่าค่าในแนวทแยงเป็น 1 เสมอ

ตัวอย่างการใช้งาน เช่น ร้านนึงต้องการหาความสัมพันธ์ระหว่างอุณหภูมิสูงสุดของวันกับจำนวนน้ำแข็งไสและข้าวเหนียวมะม่วงที่ขายได้
x1 = [38.9,35.5,39.3,36.5,32.9,31.2,27.7,36.8,28.0,26.7] # อุณหภูมิ
x2 = [309,274,324,282,255,289,223,296,271,254] # น้ำแข็งไส
x3 = [192,174,178,226,236,160,217,213,188,219] # ข้าวเหนียวมะม่วง
plt.scatter(x1,x2)
plt.scatter(x1,x3)
plt.xlabel(u'อุณหภูมิ (องศา)',family='Tahoma',size=14)
plt.legend([u'น้ำแข็งไส',u'ข้าวเหนียวมะม่วง'],prop={'family':'Tahoma','size':14})
plt.show()


** "น้ำแข็งไส" ใช้ไม้มลาย ระวัง คนเขียนผิดกันเยอะ

ใน numpy ได้เตรียมฟังก์ชันสำหรับสร้างเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเกี่ยวและเมทริกซ์สหสัมพันธ์ไว้แล้ว

cov = np.cov([x1,x2,x3])
cor = np.corrcoef([x1,x2,x3])
print(cov)
print(cor)

ได้
[[  22.47166667  111.81666667  -21.42777778]
 [ 111.81666667  859.12222222 -376.9       ]
 [ -21.42777778 -376.9         639.78888889]]
[[ 1.          0.80475081 -0.17870683]
 [ 0.80475081  1.         -0.50837047]
 [-0.17870683 -0.50837047  1.        ]]

ผลที่ได้บอกให้รู้ว่าเมื่ออุณหภูมิสูงขึ้นจะขายน้ำแข็งไสได้มากขึ้นเยอะ แต่ขายข้าวเหนียวมะม่วงได้ลดลงเล็กน้อย

ในการคำนวณหากไม่ต้องการใช้ฟังก์ชันสำเร็จอยากจะเขียนคำนวณเองก็อาจเขียนได้ดังนี้
X = np.stack([x1,x2,x3]).T
m = X-X.mean(0)
cov = np.dot(m.T,m)/len(X)
v = X.var(0)
cor = cov/np.sqrt(v[:,None]*v)

นอกจากนี้ใน numpy ยังมีฟังก์ชัน np.correlate() ซึ่งเอาไว้ใช้สหสัมพันธ์ไขว้ ไม่เหมือนกับ np.corrcoef() วัตถุประสงค์ในการใช้ก็ต่างกัน รายละเอียดอ่านได้ใน https://phyblas.hinaboshi.com/20180609



สหสัมพันธ์ในอนุกรมเวลา

เพื่อความเข้าใจมากขึ้น มีอีกตัวอย่างหนึ่งที่น่ายกมาอธิบายถึงคือ สหสัมพันธ์ของค่าอะไรบางอย่างที่เรียงกันตามลำดับเวลา

สมมุติว่ามีค่าอะไรบางอย่างที่เปลี่ยนแปลงไปตามเวลา แล้วเราอยากหาว่าค่าในเวลาหนึ่งมันเกี่ยวพันกับค่าในอีกเวลาหนึ่งยังไง

ค่าที่เรียงตามลำดับเวลาอาจมีความสัมพันธ์กันหรืออาจไม่จำเป็นต้องมีความสัมพันธ์กันเลยก็ได้

เช่น ทอยลูกเต๋า ๗ ครั้ง แล้วเอาค่าของทั้ง ๗ ครั้งมาเขียนเรียงกันเป็นกราฟ ทำแบบนี้ทั้งหมด ๒๐ รอบ
z = np.random.randint(1,7,[7,20])
plt.ylabel(u'เลขบนหน้าเต๋า',family='Tahoma',size=14)
plt.plot(z)
plt.show()


แต่ละเส้นแทนการลองทอย ๗ ครั้ง ทำแบบนี้ทั้งหมด ๒๐ รอบ

จะเห็นว่าแต่ละครั้งก็มีโอกาสได้ค่า 1-6 เท่ากัน ค่าที่ได้ไม่ได้เกี่ยวอะไรกับการโยนครั้งก่อนๆเลย

ดังนั้นเมื่อหาค่าสหสัมพันธ์ของแต่ละครั้งการทอยออกมาก็จะพบว่าค่าออกมาใกล้ 0 เต็มไปหมด ตัวแปรที่สุ่มขึ้นมาโดยเป็นอิสระจากกันจะหาสหสัมพันธ์ได้เข้าใกล้ 0
cor = np.corrcoef(z)
print(cor)

ได้
[[ 1.      -0.02473  0.2169  -0.1549  -0.3354   0.0869  -0.2925 ]
 [-0.02473  1.       0.25     0.0443   0.187   -0.397    0.3354 ]
 [ 0.2169   0.25     1.      -0.3066  -0.08044 -0.1418  -0.2148 ]
 [-0.1549   0.0443  -0.3066   1.       0.04312  0.04385 -0.0404 ]
 [-0.3354   0.187   -0.08044  0.04312  1.       0.03293 -0.03033]
 [ 0.0869  -0.397   -0.1418   0.04385  0.03293  1.      -0.2001 ]
 [-0.2925   0.3354  -0.2148  -0.0404  -0.03033 -0.2001   1.     ]]


ลองนำมาแสดงในรูปแบบของช่องระบายสีน่าจะเห็นภาพชัดขึ้น
plt.imshow(cor,vmin=-1,vmax=1,cmap='rainbow')
plt.colorbar()
plt.show()


แต่หากเปลี่ยนจากค่าที่ทอยได้ในแต่ละครั้งมาเป็นแต้มสะสม เช่นครั้งแรกได้ 6 นับเป็น 6 ต่อมาได้ 5 ก็บวกเพิ่มเป็น 11 แบบนี้ละก็ แบบนี้แสดงว่าค่าของครั้งถัดๆไปจะขึ้นอยู่กับว่าครั้งก่อนทอยได้เท่าไหร่ด้วย แบบนี้สหสัมพันธ์จะไม่เป็น 0

ตัวอย่าง ลองเขียนดู สามารถทำได้ง่ายโดยใช้คำสั่ง cumsum
z = np.random.randint(1,7,[7,20]).cumsum(0)
plt.ylabel(u'แต้มสะสม',family='Tahoma',size=14)
plt.plot(z)
plt.show()


พอลองมาหาสหสัมพันธ์ดูใหม่
cor = np.corrcoef(z)
print(cor)
plt.imshow(cor,vmin=-1,vmax=1,cmap='rainbow')
plt.colorbar()
plt.show()

ก็จะพบว่าได้แบบนี้
[[1.     0.7583 0.7754 0.6577 0.4717 0.5    0.5664]
 [0.7583 1.     0.8813 0.843  0.6997 0.6387 0.719 ]
 [0.7754 0.8813 1.     0.891  0.735  0.666  0.69  ]
 [0.6577 0.843  0.891  1.     0.897  0.79   0.796 ]
 [0.4717 0.6997 0.735  0.897  1.     0.912  0.8887]
 [0.5    0.6387 0.666  0.79   0.912  1.     0.953 ]
 [0.5664 0.719  0.69   0.796  0.8887 0.953  1.    ]]


คราวนี้จะเห็นว่าส่วนที่อยู่ใกล้แนวทแยงจะมีค่าเข้าใกล้ 1 เพราะค่าของแต่ละครั้งมีความเกี่ยวเนื่องจากครั้งที่แล้วมานั่นเอง แต่จุดที่ยิ่งห่างออกไปก็มีความเกี่ยวพันน้อยลงจึงมีค่าน้อยลงเรื่อยๆ

ในธรรมชาติทั่วไปค่าหนึ่งๆในอนุกรมเวลามักจะมีความเกี่ยวพันกับค่าก่อนหน้าหรือข้างหลังไม่มากก็น้อย สหสัมพันธ์จะเป็นตัวบอกได้ว่าค่านั้นจะมีความเกี่ยวพันกันแค่ไหนอย่างไร



ทั้งหมดนี้เป็นคำอธิบายและตัวอย่างคร่าวๆของการใช้ความแปรปรวนร่วมเกี่ยวและสหสัมพันธ์

ทั้งสองอย่างนี้ถูกใช้อย่างกว้างขวางในสาขาการเรียนรู้ของเครื่อง ดังนั้นในบทความอื่นๆหลังจากนี้ก็จะมีกล่าวถึงอีก เช่น ใช้สร้างค่าสุ่มด้วยการแจกแจงแบบปกติหลายตัวแปร https://phyblas.hinaboshi.com/20180525


-----------------------------------------

囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧

ดูสถิติของหน้านี้

หมวดหมู่

-- คณิตศาสตร์
-- คอมพิวเตอร์ >> เขียนโปรแกรม >> python >> numpy
-- คอมพิวเตอร์ >> เขียนโปรแกรม >> python >> matplotlib

ไม่อนุญาตให้นำเนื้อหาของบทความไปลงที่อื่นโดยไม่ได้ขออนุญาตโดยเด็ดขาด หากต้องการนำบางส่วนไปลงสามารถทำได้โดยต้องไม่ใช่การก๊อปแปะแต่ให้เปลี่ยนคำพูดเป็นของตัวเอง หรือไม่ก็เขียนในลักษณะการยกข้อความอ้างอิง และไม่ว่ากรณีไหนก็ตาม ต้องให้เครดิตพร้อมใส่ลิงก์ของทุกบทความที่มีการใช้เนื้อหาเสมอ

สารบัญ

รวมคำแปลวลีเด็ดจากญี่ปุ่น
python
-- numpy
-- matplotlib

-- pandas
-- pytorch
maya
การเรียนรู้ของเครื่อง
-- โครงข่าย
     ประสาทเทียม
บันทึกในญี่ปุ่น
บันทึกในจีน
-- บันทึกในปักกิ่ง
บันทึกในไต้หวัน
บันทึกในยุโรปเหนือ
บันทึกในประเทศอื่นๆ
เรียนภาษาจีน
qiita
บทความอื่นๆ

บทความแบ่งตามหมวด



ติดตามอัปเดตของบล็อกได้ที่แฟนเพจ

  ค้นหาบทความ

  บทความแนะนำ

หลักการเขียนทับศัพท์ภาษาจีนกวางตุ้ง
การใช้ unix shell เบื้องต้น ใน linux และ mac
หลักการเขียนทับศัพท์ภาษาจีนกลาง
g ในภาษาญี่ปุ่นออกเสียง "ก" หรือ "ง" กันแน่
ทำความรู้จักกับปัญญาประดิษฐ์และการเรียนรู้ของเครื่อง
ค้นพบระบบดาวเคราะห์ ๘ ดวง เบื้องหลังความสำเร็จคือปัญญาประดิษฐ์ (AI)
หอดูดาวโบราณปักกิ่ง ตอนที่ ๑: แท่นสังเกตการณ์และสวนดอกไม้
พิพิธภัณฑ์สถาปัตยกรรมโบราณปักกิ่ง
เที่ยวเมืองตานตง ล่องเรือในน่านน้ำเกาหลีเหนือ
บันทึกการเที่ยวสวีเดน 1-12 พ.ค. 2014
แนะนำองค์การวิจัยและพัฒนาการสำรวจอวกาศญี่ปุ่น (JAXA)
เล่าประสบการณ์ค่ายอบรมวิชาการทางดาราศาสตร์โดยโซวเคนได 10 - 16 พ.ย. 2013
ตระเวนเที่ยวตามรอยฉากของอนิเมะในญี่ปุ่น
เที่ยวชมหอดูดาวที่ฐานสังเกตการณ์ซิงหลง
บันทึกการเที่ยวญี่ปุ่นครั้งแรกในชีวิต - ทุกอย่างเริ่มต้นที่สนามบินนานาชาติคันไซ
หลักการเขียนคำทับศัพท์ภาษาญี่ปุ่น
ทำไมจึงไม่ควรเขียนวรรณยุกต์เวลาทับศัพท์ภาษาต่างประเทศ
ทำไมถึงอยากมาเรียนต่อนอก
เหตุผลอะไรที่ต้องใช้ภาษาวิบัติ?

บทความแต่ละเดือน

2019年

1月 2月 3月 4月
5月 6月 7月 8月
9月 10月 11月 12月

2018年

1月 2月 3月 4月
5月 6月 7月 8月
9月 10月 11月 12月

2017年

1月 2月 3月 4月
5月 6月 7月 8月
9月 10月 11月 12月

2016年

1月 2月 3月 4月
5月 6月 7月 8月
9月 10月 11月 12月

2015年

1月 2月 3月 4月
5月 6月 7月 8月
9月 10月 11月 12月

ค้นบทความเก่ากว่านั้น

ไทย

日本語

中文