φυβλαςのβλογ
บล็อกของ phyblas



[python] ทำความเข้าใจคอนโวลูชัน
เขียนเมื่อ 2018/06/09 08:52
ใครที่ศึกษาเรื่องการเรียนรู้ของเครื่อง โดยเฉพาะโครงข่ายประสาทเทียมคงจะรู้จักสิ่งที่เรียกว่าโครงข่ายประสาทแบบคอนโวลูชัน (convolutional neural network) ซึ่งถูกใช้อย่างกว้างขวางในการวิเคราะห์ข้อมูลรูปภาพหรืออนุกรมเวลา

ในบทความนี้จะอธิบายให้เห็นภาพว่าคอนโวลูชันที่ว่านี้คืออะไร โดยใช้ภาพประกอบที่เขียนจากไพธอนแสดงให้เห็นภาพชัด



ความหมายของคอนโวลูชัน

คอนโวลูชัน (convolution) หากเปิดพจนานุกรมภาษาอังกฤษก็จะพบว่ามีความหมายโดยทั่วไปว่า การบิดงอหมุนวน หรืออาจหมายถึงรอยหยักของสมองก็ได้ แต่ในทางคณิตศาสตร์แล้วมีความหมายเฉพาะอีกอย่าง

ที่จริงคอนโวลูชันมีชื่อแปลไทยว่า "สังวัตนาการ" ด้วย อย่างไรก็ตามนี่เป็นคำแปลที่แปลแล้วยากขึ้นกว่าเดิมและไม่ได้ช่วยให้เข้าใจความหมาย จึงไม่เป็นที่นิยม ในที่นี้ก็จะขอใช้ทับศัพท์

ความหมายของคอนโวลูชันนั้นหากดูแปลจีนหรือแปลญี่ปุ่น น่าจะช่วยให้เข้าใจเห็นภาพได้ชัด

ในภาษาญี่ปุ่นแปลคำนี้ว่า 畳み込み tatamikomi หมายถึงการ "พับทบแล้วอัดแน่น"

ส่วนในภาษาจีนคือ 卷积(卷積) juǎnjī หมายถึง "ม้วนแล้วกองทับถม"

ซึ่งเป็นการแปลที่อธิบายความหมายของคอนโวลูชันได้เป็นอย่างดี ทำให้แค่เห็นก็พอนึกตามได้คร่าวๆว่ามันคือการทำอะไร

อาจสรุปสั้นๆว่าเป็นการ "ม้วนทบ"

ทีนี้การม้วนทบที่ว่านี่มันคืออย่างไรกัน แค่บอกว่าม้วนทบก็คงนึกภาพไม่ออกอยู่ดีว่าการม้วนทบในทางคณิตศาสตร์นั้นมันม้วนทบยังไง

แต่ถ้าอยู่ดีๆอธิบายนิยามทางคณิตศาสตร์เลย คนทั่วไปก็เข้าใจยาก ดังนั้นขอเริ่มอธิบายด้วยภาพ

นี่คือภาพอธิบายการทำงานของคอนโวลูชัน



ตัวสีเขียวด้านบนที่วิ่งไปเรื่อยๆนี้เรียกว่าตัวกรอง (filter) แต่บางครั้งก็ถูกเรียกว่าเคอร์เนล (kernel) ส่วนสีม่วงตรงกลางคือข้อมูลป้อนเข้า

ตัวกรองจะคูณกับข้อมูลป้อนเข้าทีละส่วน แล้วเอาผลคูณมาบวกกัน ได้เป็นผลลัพธ์ด้านล่างสีแดง เสร็จแล้วก็เลื่อนตำแหน่งไปจับคู่คูณตำแหน่งถัดไปต่อ

เหมือนเรากำลังเอาตัวกรองมากลิ้งไปบนข้อมูลป้อนเข้า เพื่อจะทบแล้วอัดกันจนได้เป็นผลลัพธ์

แสดงตัวอย่างอีกภาพ อธิบายด้วยกราฟเส้นวิ่ง เส้นเขียวคือตัวกรองวิ่งไล่คำนวณคูณกับแต่ละส่วนไปเรื่อยๆ แล้วนำผลคูณทั้งหมดทุกช่องมาบวกกัน จนได้ผลออกมาเป็นกราฟข้างล่าง



อย่างไรก็ตาม สิ่งที่เรียกว่าคอนโวลูชันนั้นโดยนิยามดั้งเดิมแล้วจริงๆตัวกรองจะต้องนำมาพลิกกลับด้าน เอาส่วนท้ายไว้หน้า ผลที่ได้ก็จะต่างกัน

คือภาพจะเป็นแบบนี้แทน



ซึ่งอาจเขียนเป็นสูตรคณิตศาสตร์ได้แบบนี้
..(1)

โดย x คืออาเรย์ค่าที่ป้อนเข้า ส่วน k คือตัวกรอง

กรณีภาพแรกคือแบบไม่กลับด้านนั้นมักจะเรียกว่าสหสัมพันธ์ไขว้ (cross-correlation) คือ
..(2)

สหสัมพันธ์ไขว้ในที่นี้เป็นคนละเรื่องกับสหสัมพันธ์ (correlation) ที่เขียนถึงไปใน https://phyblas.hinaboshi.com/20180517

ในที่นี้สัญญลักษณ์ ∗ แทนตัวดำเนินการคอนโวลูชัน และ ⋆ แทนสหสัมพันธ์ไขว้

และถ้าหากเป็นกรณีที่ x และ k เป็นฟังก์ชันที่มีค่าต่อเนื่อง แทนที่จะเป็นแค่ข้อมูลเป็นจุดๆ จะเขียนในรูปปริพันธ์แบบนี้
..(3)

คอนโวลูชันในโครงข่ายประสาทเทียมแบบคอนโวลูชันก็ไม่มีการกลับด้านตัวกรอง ดังนั้นจริงๆแล้วในทางเทคนิคมันคือสหสัมพันธ์ไขว้ แต่ถึงอย่างนั้นเขาก็ใช้คำว่าคอนโวลูชันกัน

ดังนั้นในที่นี้ก็จะใช้คำว่าคอนโวลูชันในความหมายนี้ด้วย ตัวกรองจะกลับด้านหรือไม่นั้นไม่ได้เป็นเรื่องที่ต้องคำนึงถึงเมื่อนำมาใช้ในบางเรื่องเช่นในโครงข่ายประสาทเทียม

ลองสร้างฟังก์ชันสำหรับทำคอนโวลูชันขึ้นในไพธอนได้ดังนี้ ตามสมการ (2)
def convo(x,k):
    return np.array([sum(x[i:i+len(k)]*k) for i in range(len(x)-len(k)+1)])

ตัวอย่างการใช้
x = np.array([1,3,2,5,1,0,7])
k = np.array([3,1,2])
print(convo(x,k)) # ได้ [10 21 13 16 17]



เพิ่มขอบ (padding)

โดยปกติแล้วเมื่อทำการคอนโวลูชัน ผลที่ได้ออกมาจะเป็นอาเรย์ที่มีขนาดเล็กลง โดยที่



เพราะฉะนั้นเมื่อใช้ตัวกรองขนาด 3 ก็จะทำให้อาเรย์ที่ได้เล็กลงไป 2

แต่ว่าบ่อยครั้งที่เราอาจไม่ต้องการให้ขนาดของผลที่ได้มีการเปลี่ยนแปลง กรณีแบบนี้โดยทั่วไปจะทำได้โดยการเพิ่มขอบลงไปก่อนที่จะทำการคอนโวลูชัน

ดูรูปนี้จะเข้าใจง่ายขึ้น มีส่วนขอบที่เพิ่มเข้ามาทางซ้ายขวา โดยจะมีค่าเป็น 0 และถูกนำมาใช้คำนวณด้วย



เมื่อมีการเพิ่มขอบ ขนาดที่ได้จะเป็นแบบนี้



ดังนั้นถ้าขนาดตัวกรองเป็น 3 ต้องมีการเพิ่มขอบเป็น 1 เพื่อให้อาเรย์มีขนาดเท่าเดิม แถมหากเพิ่มขอบมากกว่านี้ไปอีกขนาดของอาเรย์ก็อาจใหญ่กว่าเดิมได้ด้วย



จำนวนที่เลื่อนต่อก้าว (stride)

ในตัวอย่างที่ผ่านมาจะเป็นการเลื่อนตัวกรองไปครั้งนึงแล้วก็คำนวณทีนึง แต่ในบางครั้งเราอาจไม่ได้ต้องการคำนวณถี่ยิบหมดทุกขั้นตอนแบบนั้น คืออาจให้เลื่อนไปสัก ๒ ทีหรือมากกว่านั้นแล้วคำนวณทีนึงก็ได้ เช่นแบบนี้



พอมีการโดดข้าม ผลที่ได้คืออาเรย์ที่มีขนาดลดลง กรณีแบบนี้ขนาดของผลลัพธ์ที่ได้จะเป็น



เพียงแต่ว่าถ้าหากในตอนที่หารจำนวนการเลื่อนแล้วมีเศษเหลือก็จะมีการปัดลง เพราะขนาดช่องยังไงก็ต้องเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น รูปตัวอย่างนี้เองก็จะเห็นได้ว่ามีการเลื่อนไปไม่ถึงสุดขอบทางขวา

คือ (10-3+2)/2+1 = 5.5 ปัดลงเหลือ 5

อาจลองเขียนฟังก์ชันในไพธอนใหม่เพื่อให้เป็นแบบที่สามารถปรับเพิ่มขอบและปรับการเลื่อนได้แบบนี้
def convo(x,k,s=1,p=0):
    if(p):
        x = np.hstack([np.zeros(p),x,np.zeros(p)])
    return np.array([sum(x[i:i+len(k)]*k) for i in range(0,len(x)-len(k)+1,s)])

x = np.array([3,5,7,1,2.1,0,3,4])
k = np.array([4,1,3])
print(convo(x,k,1,0)) # ได้ [38.  30.  35.3  6.1 17.4 15. ]
print(convo(x,k,2,0)) # ได้ [38.  35.3 17.4]
print(convo(x,k,1,1)) # ได้ [18.  38.  30.  35.3  6.1 17.4 15.  16. ]


คอนโวลูชันใน numpy

ใน numpy เองก็มีเตรียมฟังก์ชันสำหรับทำคอนโวลูชันไว้ คือ np.convolve() เพียงแต่ว่านี่เป็นคอนโวลูชันในความหมายเดิม คือมีการกลับทิศของของตัวกรอง ส่วนคอนโวลูชันแบบที่เรากล่าวมาซึ่งไม่มีการกลับทิศนั้นจริงๆคือสหสัมพันธ์ไขว้ ซึ่งก็ทำได้โดยฟังก์ชัน np.correlate()

เพียงแต่ว่ามีความแตกต่างจากฟังก์ชันคอนโวลูชันที่เพิ่งสร้างเองไป ความสามารถน้อยกว่า คือไม่สามารถกำหนดจำนวนเลื่อนช่อง (stride) ได้ จะเลื่อนทีละช่องเท่านั้น

และการกำหนดเรื่องการเพิ่มช่องนั้นจะไม่สามารถทำได้โดยตรง แต่จะใช้การเลือกโหมด โดยใส่ค่าตัวที่ ๓ หรือคีย์เวิร์ด mode

full ตัวกรองจะวิ่งตั้งแต่จุดที่เริ่มซ้อนกันแค่ช่องเดียว โดยมีการเพิ่มช่อง ผลที่ได้จะเป็นอาเรย์ขนาดใหญ่ขึ้น
valid ตัวกรองจะวิ่งแค่ภายในขอบเขตที่ซ้อนกันทุกช่อง ไม่มีการเพิ่มช่อง ผลที่ได้จะเป็นอาเรย์ขนาดเล็กลง
same ตัวกรองจะเริ่มวิ่งจากที่ซ้อนกันส่วนหนึ่ง โดยจะเพิ่มช่องเพื่อรักษาให้จำนวนอาเรย์ที่ได้เท่ากับอาเรย์ที่ป้อนเข้า

ลองคำนวณดูเป็นตัวอย่าง แสดงความแตกต่างระหว่าง ๓ กรณี และความต่างระหว่าง np.correlate() กับ np.convolve()
x = np.array([2,0,-1,-2,3,2,-1])
k = np.array([1,3,4,2])
print(np.correlate(x,k,'full')) # ได้ [ 4  8  4 -6 -5  9 13  5 -1 -1]
print(np.correlate(x,k,'valid')) # ได้ [-6 -5  9 13]
print(np.correlate(x,k,'same')) # ได้ [ 8  4 -6 -5  9 13  5]
print(np.convolve(x,k,'full')) # ได้ [ 2  6  7 -1 -7  1 13 11  0 -2]
print(np.convolve(x,k,'valid')) # ได้ [-1 -7  1 13]
print(np.convolve(x,k,'same')) # ได้ [ 6  7 -1 -7  1 13 11]

ภาพแสดง np.correlate() ในโหมด full



เปรียบเทียบกับ np.convolve() ในโหมด full เช่นกัน จะเห็นว่าตัวกรองถูกกลับด้าน



ส่วนโหมด same นั้นจะมีการเพิ่มช่องมาแค่พอให้ไม่หายไป อย่างไรก็ตามกรณีที่ขนาดตัวกรองเป็นเลขคู่แบบนี้ยังไงก็ไม่มีทางขนาดเท่าเดิมได้ ปกติจึงคำนวณเกินมาช่องนึงแล้วตัดทิ้ง

รูปนี้แสดง np.correlate() ในโหมด same เพียงแต่ว่าช่องขวาสุดจะถูกตัดทิ้ง





คอนโวลูชันในสองมิติ

ที่กล่าวมาข้างต้นเป็นคอนโวลูชันในหนึ่งมิติ แต่คอนโวลูชันสามารถทำในกี่มิติก็ได้ ในที่นี้จะอธิบายถึงคอนโวลูชันในสองมิติ ซึ่งนิยมใช้ในเรื่องของการจัดการรูปภาพ

ในคอนโวลูชันสองมิติ ทั้งอาเรย์ป้อนเข้าและตัวกรองก็จะเป็นสองมิติ ผลการคำนวณที่ได้ก็กลายเป็นสองมิติเช่นกัน อาจแสดงเป็นภาพให้เห็นได้ในลักษณะนี้



ขนาดของอาเรย์ที่ได้เป็นผลลัพธ์ออกมาจะเป็นเท่าไหร่ก็คำนวณได้เช่นเดียวกับแบบหนึ่งมิติ เพียงแต่ต้องมีการคำนวณแยกทั้งสองมิติต่างหาก

อาจเขียนฟังก์ชันคำนวณได้ดังนี้
def convo2d(x,k,s=1,p=0):
    nx = x.shape
    nk = k.shape
    if(p):
        if(type(p)==int):
            p = p,p
        nx = nx[0]+2*p[0],nx[1]+2*p[1]
        x0 = np.zeros(nx)
        x0[p[0]:nx[0]-p[0],p[1]:nx[1]-p[1]] = x
        x = x0
    if(type(s)==int):
        s = s,s
    return np.array([[(x[i:i+nk[0],j:j+nk[1]]*k).sum()
                    for j in range(0,nx[1]-nk[1]+1,s[1])]
                    for i in range(0,nx[0]-nk[0]+1,s[0])])


ลองดูตัวอย่างการใช้งาน ตัวอย่างหนึ่งที่เห็นบ่อยและเข้าใจง่ายคือการใช้ทำให้ภาพเบลอ

เช่นมีภาพตัวอย่างนี้อยู่ (เพื่อความง่ายขอใช้เป็นภาพขาวดำก็พอ ภาพเอามาจาก https://phyblas.hinaboshi.com/numa40)



ลองเปิดอ่านขึ้นมาเป็นอาเรย์ของค่าสี แล้วนำมาผ่านการคอนโวลูชัน แล้วดูภาพที่ได้ออกมา
x = imageio.imread('c40a08.png')[:,:,0]
k = np.ones([5,5])
y = convo2d(x,k)
plt.figure(figsize=[5,6])
plt.axes([0,0,1,1])
plt.imshow(y,cmap='gray')
plt.axis('off')
plt.show()

ผลที่ได้จะกลายเป็นแบบนี้





คอนโวลูชันสองมิติใน scipy

ฟังก์ชัน correlate() และ convolve() สำหรับทำคอนโวลูชันหรือสหสัมพันธ์ไขว้มิติเดียวนั้นมีใน scipy เช่นเดียวกับใน numpy สามารถใช้งานได้เหมือนกัน โดยอยู่ในมอดูลย่อย scipy.signal แต่นอกจากนี้แล้วใน scipy.signal ยังมี correlate2d() และ convolve2d() ไว้ใช้ทำคอนโวลูชันและสหสัมพันธ์ไขว้สองมิติได้ด้วย

ตัวอย่างการใช้
from scipy.signal import correlate2d
x = np.random.random([100,100])
k = np.random.random([20,20])
plt.figure(figsize=[6,6])
plt.subplot(221)
plt.imshow(x,cmap='coolwarm')
plt.subplot(222)
plt.imshow(correlate2d(x,k,'full'),cmap='coolwarm')
plt.subplot(223)
plt.imshow(correlate2d(x,k,'valid'),cmap='coolwarm')
plt.subplot(224)
plt.imshow(correlate2d(x,k,'same'),cmap='coolwarm')
plt.tight_layout()
plt.show()

ได้





การทำภาพตัวอย่าง

ภาพที่แสดงตัวอย่างให้เห็นข้างต้นนั้นถูกทำขึ้นด้วยโค้ดนี้ ภาพ gif สร้างโดยวิธีการดังที่เขียนไปใน https://phyblas.hinaboshi.com/20180603

แบบหนึ่งมิติ เป็นตัวเลข
import imageio

def laiconvo(c,x,k,s=1,p=0):
    if(p):
        x = np.hstack([np.zeros(p),x,np.zeros(p)])
    nx = len(x)
    nk = len(k)
    phap = []
    for j in range(0,nx-nk+1,s):
        fig = plt.figure(figsize=[(nx*3+2)/5.,3])
        ax = plt.axes([0,0,1,1],aspect=1,xlim=[0,nx*3+0.1],ylim=[-6,9])
        for i in range(nx):
            if(j<=i<nk+j):
                fc = '#ccbbff'
            else:
                fc = '#eeeeff'
            pad = (i<p)|(nx-i<=p)
            ax.add_patch(plt.Rectangle([i*3,0],3,3-pad*0.5,ec='k',fc=fc))
            ax.text(i*3+1.5,1.5-pad*0.25,'%d'%x[i],va='center',ha='center',size=25)

        for i in range(nk):
            ax.add_patch(plt.Rectangle([(i+j)*3,5],3,3,ec='k',fc='#ccffcc'))
            ax.text((i+j)*3+1.5,6.5,'%d'%k[i],va='center',ha='center',size=25)
            ax.text((i+j)*3+1.5,4,r'$\times$',va='center',ha='center',size=25)
            plt.arrow((i+j)*3+1.5,-0.2,((1.5*(nk-1))-i*3)*0.8,-1.7,head_width=0.5,length_includes_head=1)

        for i in range(0,j+1,s):
            if(i==j):
                fc = '#ff6666'
            else:
                fc = '#ff9999'
            v = (x[i:i+nk]*k).sum()
            ax.add_patch(plt.Rectangle([i*3+(1.5*(nk-1)),-5],3,3,ec='k',fc=fc))
            ax.text((i*3+1.5*(nk-1))+1.5,-3.5,'%d'%v,va='center',ha='center',size=25)
        plt.axis('off')
        fig.canvas.draw()
        phap.append(np.array(fig.canvas.renderer._renderer))
        plt.close()
    imageio.mimsave(c,phap,fps=2.5)

x = np.random.randint(0,7,10)
k = np.random.randint(0,7,3)
laiconvo('e01.gif',x,k,1,0)

แบบเส้น
def senconvo(c,x,k):
    nx = len(x)
    nk = len(k)
    x2 = np.array([sum(x[i:i+nk]*k) for i in range(0,nx-nk+1)])
    nx2 = len(x2)
    phap = []
    for i in range(0,nx2,max(1,int(nx2/50))):
        fig = plt.figure(figsize=[5,3])
        ax = plt.axes([0.1,0.3,0.9,0.7],xlim=[0,nx-1],ylim=[x.min()-x.std()*0.2,x.max()+x.std()*0.2],xticks=[])
        ax.spines['top'].set_visible(0)
        ax.spines['right'].set_visible(0)
        plt.plot(np.arange(nx),x,'#6677aa',alpha=0.2)
        plt.plot(np.arange(nx)[:i+nk],x[:i+nk],'#6677aa')
        plt.plot(np.arange(i,i+nk),k,'#66aa66')
        plt.axvspan(i,i+nk-1,alpha=0.2,fc='#ddffdd',lw=3,ec='k')
        ax = plt.axes([0.1,0,0.9,0.3],xlim=[0,nx-1],ylim=[x2.min()-x2.std()*0.2,x2.max()+x2.std()*0.2],xticks=[])
        ax.spines['right'].set_visible(0)
        ax.spines['bottom'].set_visible(0)
        plt.plot((np.arange(0,i+1)),x2[:i+1],'#aa3333')
        plt.plot([i,i],[x2[i],x2.max()+x2.std()*0.2],'k',lw=3,alpha=0.2)
        fig.canvas.draw()
        phap.append(np.array(fig.canvas.renderer._renderer))
        plt.close()
    imageio.mimsave(c,phap,duration=0.04)

x = np.random.normal(0,0.1,100).cumsum()
x -= np.linspace(0,x[-1],100)
x **= 3
k = np.random.normal(0,0.01,10).cumsum()

senconvo('e02.gif',x,k)

แบบสองมิติ
def laiconvo2d(c,x,k,s=1,p=0):
    nx = x.shape
    nk = k.shape
    if(p):
        if(type(p)==int):
            p = p,p
        nx = nx[0]+2*p[0],nx[1]+2*p[1]
        x0 = np.zeros(nx)
        x0[p[0]:nx[0]-p[0],p[1]:nx[1]-p[1]] = x
        x = x0
    if(type(s)==int):
        s = s,s
    nx2 = nx[0]-nk[0]+1,nx[1]-nk[1]+1
    phap = []
    for n in range(0,nx2[0],s[0]):
        for m in range(0,nx2[1],s[1]):
            fig = plt.figure(figsize=[nx[1],nx[0]+nx2[0]])
            ax = plt.axes([0,(nx2[0]+0.5)/(nx[0]+nx2[0]+0.5),1,nx[0]/(nx[0]+nx2[0]+0.5)],aspect=1,xlim=[0,nx[1]*3+0.1],ylim=[-nx[0]*3-0.1,0])
            ax2 =plt.axes([0,0,1,nx2[0]/(nx[0]+nx2[0]+0.5)],aspect=1,xlim=[0,nx2[1]*3+0.1],ylim=[-nx2[0]*3-0.1,0])

            for j in range(nx[0]):
                for i in range(nx[1]):
                    if(m<=i<nk[1]+m and n<=j<nk[0]+n):
                        fc = '#ccbbff'
                    else:
                        fc = '#eeeeff'
                    ax.add_patch(plt.Rectangle([i*3,-j*3-3],3,3,ec='k',fc=fc))
                    ax.text(i*3+1.5,-j*3-1.5,'%d'%x[j,i],va='center',ha='center',size=25)

            for j in range(nk[0]):
                for i in range(nk[1]):
                    ax.text((m+i)*3+2.25,-(n+j)*3-2.25,'$\\times%d$'%k[j,i],va='center',ha='center',size=18)

            for j in range(0,nx2[0],s[0]):
                for i in range(0,nx2[1],s[1]):
                    if(nx2[1]*j+i>nx2[1]*n+m):
                        break
                    if(i==m and j==n):
                        fc = '#ff6666'
                    else:
                        fc = '#ff9999'
                    ax2.add_patch(plt.Rectangle([i*3,-j*3-3],3,3,ec='k',fc=fc))
                    ax2.text(i*3+1.5,-j*3-1.5,'%d'%((x[j:j+nk[0],i:i+nk[1]]*k).sum()),va='center',ha='center',size=25)

            ax.axis('off')
            ax2.axis('off')
            fig.canvas.draw()
            phap.append(np.array(fig.canvas.renderer._renderer))
            plt.close()
    imageio.mimsave(c,phap,fps=2.5)

x = np.random.randint(0,10,[5,6])
k = np.random.randint(0,10,[3,3])
laiconvo2d('e09.gif',x,k,1,[0,0])




ประโยชน์ของคอนโวลูชัน

ทั้งหมดนี้เป็นการอธิบายว่าคอนโวลูชันคืออะไร คำนวณอย่างไร แต่พอรู้แล้วก็คงจะมีคนไม่น้อยที่สงสัยว่าการที่เอาค่ามาไล่พับทบคูณกันแบบนี้มันมีความหมายอะไร ทำไปเพื่ออะไร

ปัจจุบันคอนโวลูชันถูกนำไปประยุกต์ใช้ในเรื่องต่างๆมากมาย เช่น
- ในการจัดการรูปภาพ เช่น ทำให้ภาพเบลอหรือคมขึ้น หรือค้นหาเค้าโครง
- ในการประมวลผลสัญญาณ เช่น ลดคลื่นรบกวน ทำให้เห็นสัญญาณชัดขึ้น
- ในสวนศาสตร์ (วิชาที่ศึกษาเรื่องเสียง) เช่น จัดการกับเสียงก้อง
- ในการวิเคราะห์สเป็กโตรสโกปี เช่น วิเคราะห์การเลื่อนสเป็กตรัมจากปรากฏการณ์ดอพเลอร์
- ในทฤษฎีความน่าจะเป็น การแจกแจงความน่าจะเป็นของผลบวกของจำนวนสุ่ม ๒ ตัวที่เป็นอิสระต่อกันคือคอนโวลูชันของของการแจกแจงของแต่ละตัว
- ในการเรียนรู้ของเครื่อง เช่น เป็นส่วนประกอบของโครงข่ายประสาทเทียม
- ฯลฯ

ตัวอย่างการใช้งานบางอย่างหากมีโอกาสก็จะเขียนแสดงให้ดูต่อไป



อ้างอิง


-----------------------------------------

囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧

ดูสถิติของหน้านี้

หมวดหมู่

-- คอมพิวเตอร์ >> เขียนโปรแกรม >> python >> numpy
-- คณิตศาสตร์
-- คอมพิวเตอร์ >> เขียนโปรแกรม >> python >> scipy

ไม่อนุญาตให้นำเนื้อหาของบทความไปลงที่อื่นโดยไม่ได้ขออนุญาตโดยเด็ดขาด หากต้องการนำบางส่วนไปลงสามารถทำได้โดยต้องไม่ใช่การก๊อปแปะแต่ให้เปลี่ยนคำพูดเป็นของตัวเอง หรือไม่ก็เขียนในลักษณะการยกข้อความอ้างอิง และไม่ว่ากรณีไหนก็ตาม ต้องให้เครดิตพร้อมใส่ลิงก์ของทุกบทความที่มีการใช้เนื้อหาเสมอ

สารบัญ

รวมคำแปลวลีเด็ดจากญี่ปุ่น
python
-- numpy
-- matplotlib

-- pandas
-- pytorch
maya
การเรียนรู้ของเครื่อง
-- โครงข่าย
     ประสาทเทียม
บันทึกในญี่ปุ่น
บันทึกในจีน
-- บันทึกในปักกิ่ง
บันทึกในไต้หวัน
บันทึกในยุโรปเหนือ
บันทึกในประเทศอื่นๆ
เรียนภาษาจีน
qiita
บทความอื่นๆ

บทความแบ่งตามหมวด



ติดตามอัปเดตของบล็อกได้ที่แฟนเพจ

  ค้นหาบทความ

  บทความแนะนำ

หลักการเขียนทับศัพท์ภาษาจีนกลาง
g ในภาษาญี่ปุ่นออกเสียง "ก" หรือ "ง" กันแน่
ค้นพบระบบดาวเคราะห์ ๘ ดวง เบื้องหลังความสำเร็จคือปัญญาประดิษฐ์ (AI)
หอดูดาวโบราณปักกิ่ง ตอนที่ ๑: แท่นสังเกตการณ์และสวนดอกไม้
พิพิธภัณฑ์สถาปัตยกรรมโบราณปักกิ่ง
บ้านเก่าของจางเสวียเหลียงในเทียนจิน
เที่ยวจิ่นโจว ๓ วัน ๒ คืน 23 - 25 พ.ค. 2015
เที่ยวเมืองตานตง ล่องเรือในน่านน้ำเกาหลีเหนือ
บันทึกการเที่ยวสวีเดน 1-12 พ.ค. 2014
แนะนำองค์การวิจัยและพัฒนาการสำรวจอวกาศญี่ปุ่น (JAXA)
เที่ยวฮ่องกงในคืนคริสต์มาสอีฟ เดินทางไกลจากสนามบินมาทานติ่มซำอร่อยโต้รุ่ง
เล่าประสบการณ์ค่ายอบรมวิชาการทางดาราศาสตร์โดยโซวเคนได 10 - 16 พ.ย. 2013
ตระเวนเที่ยวตามรอยฉากของอนิเมะในญี่ปุ่น
เที่ยวชมหอดูดาวที่ฐานสังเกตการณ์ซิงหลง
บันทึกการเที่ยวญี่ปุ่นครั้งแรกในชีวิต - ทุกอย่างเริ่มต้นที่สนามบินนานาชาติคันไซ
หลักการเขียนคำทับศัพท์ภาษาญี่ปุ่น
ทำไมจึงไม่ควรเขียนวรรณยุกต์เวลาทับศัพท์ภาษาต่างประเทศ
ทำไมถึงอยากมาเรียนต่อนอก
เหตุผลอะไรที่ต้องใช้ภาษาวิบัติ?

บทความแต่ละเดือน

2019年

1月 2月 3月 4月
5月 6月 7月 8月
9月 10月 11月 12月

2018年

1月 2月 3月 4月
5月 6月 7月 8月
9月 10月 11月 12月

2017年

1月 2月 3月 4月
5月 6月 7月 8月
9月 10月 11月 12月

2016年

1月 2月 3月 4月
5月 6月 7月 8月
9月 10月 11月 12月

2015年

1月 2月 3月 4月
5月 6月 7月 8月
9月 10月 11月 12月

ค้นบทความเก่ากว่านั้น

ไทย

日本語

中文