วิธีการเคอร์เนล (核方法, kernel method) หรือนิยมเรียกกันว่าลูกเล่นเคอร์เนล (核技巧, kernel trick) เป็นวิธีการที่ใช้อย่างกว้างขวางในเทคนิคการเรียนรู้ของเครื่อง

สำหรับบทความนี้จะมาอธิบายหลักการและการใช้วิธีการเคอร์เนลโดยละเอียด



หลักการ

การวิเคราะห์ปัญหาที่ไม่เป็นเชิงเส้นนั้นมีความซับซ้อน โดยทั่วไปหากสามารถเปลี่ยนปัญหาที่พิจารณาให้เป็นเชิงเส้นได้จะสามารถคิดอะไรๆได้ง่ายขึ้น

เช่นเมื่อพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรต้นและตัวแปรตามซึ่งมีความสัมพันธ์ที่ดูแล้วเป็นฟังก์ชันซับซ้อน แต่ถ้าเราใช้วิธีอะไรสักอย่างแปลงข้อมูลเหล่านี้ให้ไปอยู่ในปริภูมิอื่น มันอาจกลายเป็นเชิงเส้นขึ้นมาได้ มิติของปริภูมินั้นอาจสูงกว่า แต่ถ้าเป็นเชิงเส้นก็จะทำให้พิจารณาง่ายขึ้น

ภาพตัวอย่างคร่าวๆ ด้านบนคือปริภูมิเดิมของข้อมูลที่เราพิจารณาอยู่ตอนแรก ส่วนภาพล่างคือจุดข้อมูลเหล่านั้นภายในปริภูมิใหม่ สีเดียวกันกับด้านบนแสดงถึงจุดเดียวกันถูกแปลงมาเป็นจุดนั้นในด้านล่าง



ในการใช้วิธีการเคอร์เนล ปริภูมิใหม่ที่ว่านี้เรียกว่าเป็นปริภูมิของเคอร์เนล ค่าในปริภูมิเคอร์เนลเป็นฟังก์ชันของจุดต่างๆในปริภูมิเดิม

ปริภูมิของเคอร์เนลที่ว่านี้ ถ้าจะพูดโดยละเอียดจริงๆก็คือเป็นปริภูมิชนิดที่เรียกว่า ปริภูมิฮิลแบร์ทเคอร์เนลเกิดซ้ำ (再生核希尔伯特空间, reproducing kernel Hilbert space)

อย่างไรก็ตามเรื่องนี้เป็นคณิตศาสตร์ระดับสูงเข้าใจยากพอสมควร เราไม่จำเป็นต้องลงลึกในรายละเอียดขนาดนั้นก็ได้ ให้เข้าใจว่าเป็นปริภูมิอะไรบางอย่างที่ต่างจากปริภูมิที่เราพิจารณาอยู่เดิม และการคำนวณในปริภูมินั้นทำให้การวิเคราะห์ข้อมูลสะดวกได้

วิธีการเคอร์เนลมีพื้นฐานมาจากการใช้ฟังก์ชันฐาน (基函数, basis function) ซึ่งเขียนถึงไปใน https://phyblas.hinaboshi.com/20180720

เนื้อหาในนี้จะต่อเนื่องจากพื้นฐานในบทความนั้น สมการต่างๆก็ยกมาจากในนั้นโดยอาจจะไม่ได้อธิบายซ้ำโดยละเอียดนัก ดังนั้นควรอ่านบทความนั้นมาก่อน

ปริภูมิเคอร์เนลได้จากการแปลงต่อมาจากปริภูมิของฟังก์ชันฐานลักษณะเฉพาะ ϕ อีกที

โดยนิยามฟังก์ชันใหม่ K เรียกว่าเป็นฟังก์ชันเคอร์เนล หรืออาจเรียกว่าเคอร์เนลเฉยๆ
$\begin{align} K(x_i,x_j) = \vec{\phi}(x_i)^T \vec{\phi}(x_j) \end{align}$ ..(1)

K เกิดจากผลคูณเวกเตอร์ ϕ ในปริภูมิของ ϕ หรือโดยทั่วไปมักเรียกว่าเป็นผลคูณภายใน (内积, inner product) ของปริภูมิ ϕ บางครั้งก็นิยมเขียนแทนด้วยกรอบลักษณะแบบนี้
$\begin{align} \vec{\phi}(x_i)^T \vec{\phi}(x_j) = \langle \vec{\phi}(x_i),\vec{\phi}(x_j) \rangle \end{align}$ ..(2)

โดยทั่วไปถ้าปริภูมิ ϕ มีจำนวนมิติจำกัด เช่นมีจำนวนมิติ m มิติ ผลคูณภายในจะได้ว่า
$\begin{align} K(x_i,x_j) = \sum_{i=1}^{m}\phi_{m}(x_i)\phi_{m}(x_j) \end{align}$ ..(3)

แต่ในวิธีการเคอร์เนลเรามักจะให้ ϕ มีจำนวนมิติเป็นอนันต์ ซึ่งผลคูณภายในจะเป็นการหาปริพันธ์แบบนี้
$\begin{align} K(x_i,x_j) = \int_{-\infty}^{\infty}\phi_{\xi}(x_i)\phi_{\xi}(x_j)d\xi \end{align}$ ..(4)

มีมิติเป็นจำนวนอนันต์นี่เป็นยังไง คิดว่าอาจจะเป็นเรื่องที่จินตนาการได้ยาก ขอยกตัวอย่างฟังก์ชัน เช่นกรณีที่ฐาน ϕ เป็นฟังก์ชันเกาส์
$\begin{align} \phi(x_i) = \exp\left({-\beta(x_i-\xi)^2}\right) \end{align}$ ..(5)

ในที่นี้ ξ จะหมายถึงจุดที่ใช้เป็นศูนย์กลาง ซึ่งตำแหน่งนี้อาจเป็นจุดใดๆบนปริภูมิของตัวแปรต้น x ดังนั้นจึงมีจำนวนเป็นอนันต์ จึงเรียกได้ว่าปริภูมิของ ϕ มีจำนวนมิติเป็นอนันต์

แบบนี้ผลคูณภายในจะกลายเป็น
$\begin{align} K(x_i,x_j) &= \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left({-\beta(x_i-\xi)^2}\right) \exp\left({-\beta(x_j-\xi)^2}\right) d\xi \\ &= \sqrt{\frac{\pi}{2\beta}}\exp{\left(-\frac{\beta}{2}(x_i-x_j)^2\right)} \end{align}$ ..(6)

จะเห็นว่าเมื่อใช้ฟังก์ชันฐานเป็นฟังก์ชันเกาส์ ก็จะได้เคอร์เนลออกมาเป็นฟังก์ชันเกาส์ในลักษณะเดิม

เขียนเคอร์เนลเกาส์ใหม่ในรูปทั่วไปได้เป็น
$K(x_i,x_j) = \exp{\left(-\gamma(x_i-x_j)^2\right)}$ ..(7)

โดย
$\gamma = \frac{1}{2\sigma^2}$ ..(8)

โดย σ แสดงถึงขนาดความกว้าง ปกติฟังก์ชันโดยพื้นฐานแล้วจะถูกเขียนในรูป σ เพราะเห็นภาพชัดกว่า แต่เพื่อให้เขียนง่ายในที่นี้ใช้รูป γ

โดยทั่วไปเคอร์เนลเกาส์แบบนี้มักถูกเรียกว่า เคอร์เนลฟังก์ชันฐานแนวรัศมี (径向基函数核, Radial basis function kernel) และนิยมเรียกย่อๆว่า RBF

เพียงแต่ว่ากันในรายละเอียดจริงๆแล้ว RBF หมายถึงฟังก์ชันอะไรก็ได้ที่ใช้ฐานเป็นฟังก์ชันที่มีจุดศูนย์กลางและมีค่าเปลี่ยนแปลงตามระยะห่างจากใจกลาง ดังนั้นอาจไม่ใช่ฟังก์ชันเกาส์ เพียงแต่ปกติฟังก์ชันเกาส์ใช้กันทั่วไปมากที่สุด ดังนั้นพอพูดถึง RBF ก็จะหมายถึงฟังก์ชันเกาส์

นอกจากเคอร์เนลเกาส์แล้ว ยังมีเคอร์เนลชนิดอื่นที่อาจใช้ได้ เช่น เคอร์เนลลาปลาส เคอร์เนลพหุนาม เป็นต้น แต่ในที่นี้จะอธิบายโดยเน้นเคอร์เนลเกาส์เป็นหลัก

ในปัญหาการวิเคราะห์การถดถอยจะคำนวณเคอร์เนล K ระหว่างค่าใหม่ x ที่ต้องการหาค่ากับ x เก่าที่เป็นข้อมูลที่มี แล้วนำมาคำนวณ
$\vec{z}_{B} = \mathbf{K}(\vec{x}_{B},\vec{x}_{A})^T \vec{a}$ ..(9)

ในที่นี้เขียนห้อย B หมายถึงข้อมูลกลุ่มใหม่ที่ต้องการหาค่า ห้อย A หมายถึงกลุ่มเก่าซึ่งรู้ค่า z อยู่แล้วและใช้ในการเรียนรู้

ที่ใช้สัญลักษณ์เป็นเวกเตอร์ในที่นี้หมายถึงว่ามีข้อมูล x หลายตัว

อนึ่ง ในบทความนี้จะใช้อักษรตัวหนาแทนปริมาณที่เป็นเมทริกซ์สองมิติ ส่วนที่มีลูกศรด้านบนแทนปริมาณเวกเตอร์ ซึ่งถือเป็นเมทริกซ์หนึ่งมิติด้วย ส่วนอักษรตัวเอียงธรรมดาคือค่าเลขตัวเดียว

ถ้าแจกเป็นเมทริกซ์ให้เห็นภาพชัดจะได้แบบนี้
$\begin{align} \begin{bmatrix} z_{B,1} \\\\ z_{B,2} \\\\ \vdots \\\\ z_{B,n'} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} K(x_{B,1},x_{A,1}) & K(x_{B,1},x_{A,2}) & \cdots & K(x_{B,1},x_{A,n}) \\ \\ K(x_{B,2},x_{A,1}) & K(x_{B,2},x_{A,2}) & \cdots & K(x_{B,2},x_{A,n}) \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ K(x_{B,n'},x_{A,1}) & K(x_{B,n'},x_{A,2}) & \cdots & K(x_{B,n'},x_{A,n}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 \\\\ a_2 \\\\ \vdots \\\\ a_n \end{bmatrix} \end{align}$ ..(10)

โดย n เป็นจำนวนข้อมูลเก่า n' เป็นจำนวนข้อมูลกลุ่มใหม่

ค่าของแต่ละตัวจะได้เป็น
$\begin{align} z_{B,j} = \vec{K}(x_{B,j},\vec{x}_{A})^T \vec{a} = \sum_{i=1}^{n} K(x_{B,j},x_{A,i}) a_i \end{align}$ ..(11)

โดย a คือค่าน้ำหนักของเคอร์เนลแต่ละตัว อาจมองว่าคล้ายกับค่าน้ำหนัก w ตอนใช้ฟังก์ชันฐานลักษณะเฉพาะก็ได้ แค่เปลี่ยนจากน้ำหนักของฟังก์ชันฐานมาเป็นน้ำหนักของเคอร์เนล

ค่า a คำนวณจากเคอร์เนลภายในตัวข้อมูลเก่าบวกกับเรกูลาไรซ์
$\begin{align} \vec{a} &= (K(\vec{x},\vec{x})+\lambda I)^{-1} \vec{z} \\ (K(\vec{x},\vec{x})+\lambda I) \vec{a} &= \vec{z} \end{align}$ ..(12)

โดย λ คือขนาดของการเรกูลาไรซ์

ส่วนที่มาของค่า a ถ้าจะเข้าใจอาจต้องอธิบายย้อนกลับไปนิด

เดิมทีในการใช้ฟังก์ชันฐานลักษณะเฉพาะในการคำนวณนั้น เราจะอธิบายค่าของฟังก์ชัน z ที่เราต้องการหาในรูปของฟังก์ชันฐาน ϕ(x) คูณกับน้ำหนัก w
$\begin{align} z = \vec{\phi}(x)^T\vec{w} = \sum_{i=1}^{m}w_i \phi_i(x) = w_1\phi_1(x)+w_2\phi_2(x)+\cdots+w_m\phi_m(x) \end{align}$ ..(13)

เมื่อมีจุดข้อมูลอยู่หลายค่า ค่า x และ z ก็มีอยู่หลายตัว อาจแสดงได้ในรูปเมทริกซ์ดังนี้
$\begin{align} \vec{z} &= \mathbf{\Phi}\vec{w} \\ \begin{bmatrix} z_1 \\\\ z_2 \\\\ \vdots \\\\ z_n \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \phi_1(x_1) & \phi_2(x_1) & \cdots & \phi_m(x_1) \\ \\ \phi_1(x_2) & \phi_2(x_2) & \cdots & \phi_m(x_2) \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \phi_1(x_n) & \phi_2(x_n) & \cdots & \phi_m(x_n) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w_1 \\\\ w_2 \\\\ \vdots \\\\ w_m \end{bmatrix} \end{align}$ ..(14)

โดยในที่นี้ m เป็นจำนวนฐาน และ n เป็นจำนวนจุดข้อมูลที่ใช้

ค่าน้ำหนัก w นี้เป็นค่าที่ต้องคำนวณหาเอาจากข้อมูลค่า x และ z ที่ป้อนเข้าไปเป็นตัวอย่างข้อมูลสำหรับการเรียนรู้

จากเมทริกซ์ข้างต้นนี้จะได้ระบบสมการทั้งหมด n สมการ และมีค่าที่ต้องการหาคือ w ทั้งหมด m ตัว

โดยทั่วไปแล้วเวลาใช้ฟังก์ชันฐานในการคำนวณโดยทั่วไปจำนวนฐาน (m) จะน้อยกว่าจำนวนจุดข้อมูล (n) แสดงว่าจำนวนเงื่อนไขมีมากกว่าตัวแปรที่ต้องการหา กรณีแบบนี้ปกติจะไม่สามารถหา w ที่สอดคล้องกับจุดข้อมูลทั้งหมดได้

ดังนั้นเวลาแก้หาค่า w จะเป็นการหาโดยพิจารณาจากการทำให้ค่าความคลาดเคลื่อนต่ำสุด นั่นคือ
$\begin{align} J(w) = \sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^m w_j\phi_j(x_i)-z_i\right)^2 + \lambda\sum_{j=1}^{m}w_j^2 \\ \frac{\partial J(w)}{\partial w_k} = 2\sum_{i=1}^n\phi_k(x_i)\left(\sum_{j=1}^m w_j\phi_j(x_i)-z_i\right) + 2\lambda w_k = 0 \end{align}$ ..(15)

แล้วก็จะได้ว่า
$\begin{align} (\mathbf{\Phi}^T\mathbf{\Phi}+\lambda I) \vec{w} &= \mathbf{\Phi}^T \vec{z} \\ \vec{w} &= (\mathbf{\Phi}^T\mathbf{\Phi}+\lambda I)^{-1} \mathbf{\Phi}^T \vec{z} \end{align}$ ..(16)

แต่ในทางกลับกัน คราวนี้เราต้องการพิจารณากรณีที่ใช้ฐานจำนวนมากมาย มากกว่าจำนวนจุดข้อมูลที่มี (มากจนเป็นอนันต์) แบบนี้จะกลายเป็นว่าจำนวนสมการเงื่อนไขมีน้อยกว่าตัวแปรที่ต้องการหา กรณีนี้จะกลายเป็นว่าหาค่า w ได้ไม่จำกัด

ดังนั้นตรงนี้จะกลายมาเป็นปัญหาที่ว่าให้หาค่า w ที่มีขนาดต่ำสุด หรือก็คือผลรวมกำลังสองต่ำที่สุด
$\begin{align} |\vec{w}|^2 = \sum_{i=1}^{m}w_m^2 \end{align}$ ..(17)

การแก้หาค่าอาจทำโดยใช้ตัวคูณลากรองจ์ (拉格朗日乘数, Lagrange multipliers) สำหรับวิธีการจะขอละไว้ แต่ผลที่ได้จะออกมาเป็น
$\begin{align} \vec{w} &= \mathbf{\Phi}^T (\mathbf{\Phi}\mathbf{\Phi}^T+\lambda I)^{-1} \vec{z} \end{align}$ ..(18)

จะเห็นว่าสมการ (16) กับ (18) อาจดูคล้ายกันแต่ก็ต่างกัน ที่สำคัญคือ ΦΦ^T จะได้เมทริกซ์ขนาด n×n ในขณะที่ Φ^TΦ จะเป็นเมทริกซ์ขนาด m×m

ถ้านำ w ที่ได้จากตรงนี้ไปใช้เพื่อคำนวณหาค่า z ใหม่สำหรับค่า x ใหม่โดยใช้สมการ (14) จะได้ว่า
$\begin{align} \vec{z}_{B} &= \mathbf{\Phi}_{B}\mathbf{\Phi}_{A}^T (\mathbf{\Phi}_{A}\mathbf{\Phi}_{A}^T+\lambda I)^{-1} \vec{z} \end{align}$ ..(19)

และจะเห็นว่าฟังก์ชันฐานที่ปรากฏในนี้อยู่ในรูปของเวกเตอร์คูณกัน ซึ่งก็คือผลคูณภายใน ผลคูณภายในของฟังก์ชันฐานก็คือเคอร์เนล ดังนิยามในสมการ (1) ดังนั้นจะได้
$\begin{align} \vec{z}_{B} &= \mathbf{K}(\vec{x}_{B},\vec{x}_{A}) (\mathbf{K}(\vec{x}_{A},\vec{x}_{A})+\lambda I)^{-1} \vec{z} \end{align}$ ..(20)

ซึ่งก็กลับไปสู่สมการ (11) แล้วก็จะได้ค่า a ตามสมการ (12)

จะเห็นว่า ϕ ทั้งหมดถูกเขียนในรูปของ K ได้หมด นั่นหมายความว่าเราไม่จำเป็นต้องคำนวณฟังก์ชัน ϕ โดยตรงแต่คำนวณ K ซึ่งเป็นผลคูณภายในของ ϕ

แนวคิดตรงนี้มีประโยชน์มาก เพราะเมื่อมีจำนวนฟังก์ชันฐานเยอะมาก แบบนั้นถ้าเราต้องมาคำนวณ ϕ ออกมาจำนวนขนาดนั้น ปริมาณการคำนวณจะหนักมาก

แต่พอกลายเป็นว่าแค่คำนวณเคอร์เนล K ก็พอแล้ว ไม่ต้องคำนวณ ϕ โดยตรงแล้ว ต่อให้จำนวนฐานมีมากแค่ไหน จำนวนฐานอาจมีมากถึงเป็นอนันต์ ก็ไม่ทำให้ต้องคำนวณหนัก

แค่คำนวณพารามิเตอร์เป็นจำนวนแค่เท่ากับจุดข้อมูลก็เสมือนกับว่าพิจารณาฐานที่มีจำนวนมิติเป็นอนันต์ได้แล้ว แบบนี้ดูแล้วเป็นกลยุทธ์ลูกเช่นที่ทำให้การคำนวณง่ายสบายมาก ก็เลยมักถูกเรียกว่าเป็นลูกเล่นเคอร์เนล

ลองเขียนสรุปลำดับการคำนวณแล้วก็จะออกมาแบบนี้

$\begin{align} ตัวแปรต้น\; & \vec{x} &\\ \Downarrow && \\ ฐานลักษณะเฉพาะ\; & \mathbf{\Phi} &\\ \Downarrow && \\ เคอร์เนล\; & \mathbf{K} &\\ \Downarrow && \\ ตัวแปรตาม\; & \vec{z} & \end{align}$ .*.

แต่ขั้นตอน Φ นั้นถูกละไปไม่ต้องคำนวณโดยตรง จาก x คำนวณ K เลย นี่คือวิธีการของลูกเล่นเคอร์เนล



โปรแกรม

เมื่อเข้าใจหลักการแล้วต่อมาลองเขียนโปรแกรมขึ้นมาดู

การคำนวณก็เป็นไปตามขั้นตอนนี้
1. คำนวณเคอร์เนล (K) ภายในตัวแปรต้นของข้อมูลที่จะเรียนรู้ (x)
2. ใช้ K และตัวแปรตามของข้อมูลที่จะเรียนรู้ (z) คำนวณค่าน้ำหนัก (a)
3. คำนวณเคอร์เนล (K_) ของข้อมูลที่ต้องการหาค่า (x_) และข้อมูลที่เรียนรู้ (x)
3. ใช้ K_ และ a คำนวณตัวแปรตามที่ต้องการหาค่า (z_) ของข้อมูลที่ต้องการหาค่า

ลองเขียนโค้ดได้แบบนี้

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def gauss(x1,x2):
    return np.exp(-gamma*(x1-x2)**2)

np.random.seed(3)
n = 30
x = np.random.uniform(0,1,n) # จุดข้อมูลที่ใช้เรียนรู้
z = np.sin(x*9)*np.exp(-2*x)+np.random.normal(0,0.04,n)

gamma = 10 # γ
l = 0.02 # λ
K = gauss(x[:,None],x)
a = np.linalg.solve(K+np.eye(n)*l,z)
x_ = np.linspace(x.min(),x.max(),401) # จุดที่ต้องการหาค่า
K_ = gauss(x_[:,None],x)
z_ = K_.dot(a)

plt.scatter(x,z,c='y',edgecolor='g')
plt.plot(x_,z_,'m')
plt.show()

ต่อมาลองเขียนให้อยู่ในรูปของคลาส

class ThotthoiKernel:
    def __init__(self,gamma=1,l=0.1):
        self.gamma = gamma
        self.l = l

    def rianru(self,x,z):
        self.x = x
        self.K = self.kernel(x[:,None],x)
        self.a = np.linalg.solve(self.K+np.eye(len(z))*self.l,z)

    def thamnai(self,x_):
        K_ = self.kernel(x_[:,None],self.x)
        return K_.dot(self.a)

    def kernel(self,x1,x2):
        return np.exp(-self.gamma*((x1-x2)**2))

ขอทดสอบการใช้ด้วยการลองเปรียบเทียบผลของพารามิเตอร์ γ และ λ ที่มีผลต่อค่าที่ได้

n = 60
x = np.random.uniform(0,10,n)
z = np.sin(x*2)*np.exp(-0.2*x)*np.random.normal(1,0.1,n)
x_ = np.linspace(x.min(),x.max(),501)
plt.figure(figsize=[6.5,7])
for i,l in enumerate([0.01,0.1,1]):
    for j,g in enumerate([0.1,1,10,100]):
        tt = ThotthoiKernel(gamma=g,l=l)
        tt.rianru(x,z)
        z_ = tt.thamnai(x_)
        plt.subplot2grid((4,3),(j,i),xticks=[],yticks=[])
        plt.plot(x_,z_,'m')
        plt.scatter(x,z,s=10,c='y',edgecolor='g')
        plt.title('$\\lambda$=%.1f,$\\gamma$=%.1f'%(l,g),size=8)
plt.tight_layout()
plt.show()

จะเห็นว่าผลที่ได้ต่างกันมาก ดังนั้นการเลือกค่าพารามิเตอร์ให้เหมาะสมจึงมีความสำคัญมาก



กรณีหลายตัวแปร

ในตัวอย่างที่อธิบายผ่านมาเป็นปัญหาที่มีตัวแปรต้นเพียงตัวเดียว (มิติเดียว) คือ x

แต่วิธีการเคอร์เนลสามารถประยุกต์ใช้กับข้อมูลที่มีตัวแปรต้นกี่ตัวก็ได้ ดังนั้นคราวนี้จะลองเปลี่ยนมาพิจารณากรณีหลายตัวแปร

ให้ข้อมูลตัวแปรต้นแทนด้วย
$\begin{align} \mathbf{X} &= \begin{bmatrix} X_{1,1} & X_{1,2} & \cdots & X_{1,m} \\ \\ X_{2,1} & X_{2,2} & \cdots & X_{2,m} \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ X_{n,1} & X_{n,2} & \cdots & X_{n,m} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \vec{X}_{1} \\ \\ \vec{X}_{2} \\ \\ \vdots \\ \\ \vec{X}_{n} \end{bmatrix} \end{align}$ ..(21)

ในที่นี้ตัวเลขห้อยมี ๒​ ตัว ตัวแรกแทนว่าเป็นจุดที่เท่าไหร่ ตัวหลังแทนว่าเป็นมิติที่เท่าไหร่ แต่ถ้าห้อยตัวเดียวจะแค่แทนว่าเป็นจุดเท่าไหร่โดยเป็นเวกเตอร์แสดงค่าในทุกมิติของจุดนั้น

การคำนวณ Φ ก็เปลี่ยนเป็นใช้ค่าในแต่ละมิติมาร่วมคำนวณ แล้วเคอร์เนลก็คำนวณจาก Φ เหมือนเดิม
$\begin{align} \mathbf{\Phi}(\mathbf{X}) = \begin{bmatrix} \vec{\phi}(\vec{X}_1) \\ \\ \vec{\phi}(\vec{X}_2) \\ \\ \vdots \\ \\ \vec{\phi}(\vec{X}_n) \end{bmatrix} \end{align}$ ..(22)
$\begin{align} K(\textbf{X}_{A},\textbf{X}_{B}) = \mathbf{\Phi}(\mathbf{X}_{B}) \mathbf{\Phi}(\mathbf{X}_{A})^T \end{align}$ ..(23)

การคำนวณเคอร์เนลเกาส์จะกลายเป็นแบบนี้
$\begin{align} K(\vec{X}_1,\vec{X}_2) = \exp{\left(-\gamma|\vec{X_1}-\vec{X_2}|^2\right)} = \exp{\left(-\gamma\sum_{k=1}^{m}(X_{1,k}-X_{1,k})^2\right)} \end{align}$ ..(24)

ที่เพิ่มเข้ามาคือการคำนวณระยะห่างจะต้องคิดหลายมิติแล้วมาบวกกัน

เขียนโค้ดใหม่ได้ดังนี้

from scipy.spatial.distance import cdist

class ThotthoiKernel:
    def __init__(self,gamma=1,l=0.1):
        self.gamma = gamma
        self.l = l

    def rianru(self,X,z):
        self.X = X
        self.K = self.kernel(X,X)
        self.a = np.linalg.solve(self.K+np.eye(len(z))*self.l,z)

    def thamnai(self,X_):
        K_ = self.kernel(X_,self.X)
        return K_.dot(self.a)

    def kernel(self,X1,X2):
        return np.exp(-self.gamma*(cdist(X1,X2,'sqeuclidean')))

หลักๆคือเปลี่ยนจากเดิมที่เป็นมิติเดียวมาเป็นหลายมิติ

นอกจากนี้ในที่นี้เปลี่ยนมาใช้ cdist ในการคำนวณระยะห่างตอนที่คำนวณเคอร์เนล ฟังก์ชันนี้นอกจากจะเขียนง่ายแล้วก็ยังเร็วด้วย

รายละเอียดเกี่ยวกับวิธีการใช้ฟังก์ชันนี้เขียนไว้ใน https://phyblas.hinaboshi.com/20180722

ลองนำมาใช้กับข้อมูลสองมิติดู

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

n = 200
X = np.random.random([n,2])
x,y = X.T
z = np.sin(x*9)*np.exp(-2*x)+np.random.normal(0,0.1,n)+5*(y-0.5)**2

gamma = 30
l = 0.01
tt = ThotthoiKernel(gamma=gamma,l=l)
tt.rianru(X,z)
mx,my = np.meshgrid(np.linspace(x.min(),x.max(),201),np.linspace(y.min(),y.max(),201))
mX = np.array([mx.ravel(),my.ravel()]).T
mz = tt.thamnai(mX).reshape(201,-1)
ax = plt.figure(figsize=[7,6]).add_axes([0,0,1,1],projection='3d')
c = np.abs(z-tt.thamnai(X))
sc = ax.scatter(x,y,z,c=c,edgecolor='k',cmap='plasma')
ax.plot_surface(mx,my,mz,alpha=0.2,color='g',edgecolor='k')
plt.colorbar(sc,pad=0.01,aspect=50)
plt.show()

พื้นผิวคือค่า z ที่คำนวณได้ที่ x,y ค่าต่างๆ ส่วนจุดคือข้อมูลจริง

สีของจุดแสดงถึงความแตกต่างระหว่างค่า z จริงกับค่า z บนระนาบ



ทั้งหมดนี้เป็นหลักการพื้นฐานของลูกเล่นเคอร์เนล และการใช้ในการวิเคราะห์การถดถอย

แต่จริงๆแล้วแทนที่จะใช้ในการวิเคราะห์การถดถอย คนจำนวนมากทางสายการเรียนรู้ของเครื่องจะรู้จักลูกเล่นเคอร์เนลในฐานะเทคนิคที่ประยุกต์ใช้กับเทคนิคอื่นๆเช่น เครื่องเวกเตอร์ค้ำยัน (支持向量机, support vector machine, SVM) หรือ การวิเคราะห์องค์ประกอบหลัก (主成分分析, principle component Analysis, PCA) มากกว่า

สำหรับ SVM ได้เขียนถึงไปแล้วใน https://phyblas.hinaboshi.com/20180709

ส่วน PCA เขียนไว้ใน https://phyblas.hinaboshi.com/20180727



อ้างอิง

~ 自己紹介 ~

目次

日本による名言集

python モジュール -- numpy -- matplotlib -- pandas -- manim -- opencv -- pyqt -- pytorch 機械学習 -- ニューラル      ネットワーク

javascript

モンゴル語

言語学

maya

確率論

日本での日記

中国での日記 -- 北京での日記 -- 香港での日記 -- 澳門での日記

台灣での日記

北欧での日記

他の国での日記

qiita

その他の記事

記事の類別

==เลือกหมวด== ดาราศาสตร์ คณิตศาสตร์ -ความน่าจะเป็น คอมพิวเตอร์ -เขียนโปรแกรม --python ---numpy ---scipy ---matplotlib ---pandas ---manim ---pyqt ---sklearn ---pytorch ---mayapython --ruby --javascript --dart --MATLAB --SQL --regex --opencv -shell -3D --maya --MMD -microsoft_office -pdf -ปัญญาประดิษฐ์ --โครงข่ายประสาทเทียม --สเตเบิลดิฟฟิวชัน ---comfyui -การสุ่ม ภาษาศาสตร์ -ตัวอักษร -เรียนภาษา -หลักเกณฑ์การทับศัพท์ -ภาษาจีน --ภาษาจีนกลาง -ภาษาญี่ปุ่น -ภาษามองโกล -ภาษาลาว -ภาษาเขมร ประวัติศาสตร์ -ประวัติศาสตร์จีน -ประวัติศาสตร์ญี่ปุ่น ปรัชญา ประเทศจีน -จีนแผ่นดินใหญ่ --ปักกิ่ง --เทียนจิน --เหลียวหนิง --เหอเป่ย์ --เหอหนาน --ซานตง --ซานซี --อานฮุย --เจ้อเจียง --หูเป่ย์ --หูหนาน --ฝูเจี้ยน --กวางตุ้ง ---แต้จิ๋ว --ยูนนาน --ซินเจียง -ฮ่องกง -มาเก๊า -ไต้หวัน --ไทเป --จีหลง --เถาหยวน --ซินจู๋ --เหมียวลี่ --ไถจง --จางฮว่า --หยวินหลิน --เจียอี้ --ไถหนาน --เกาสยง --ผิงตง --อี๋หลาน ประเทศญี่ปุ่น -ฮกไกโด -อาโอโมริ -อิวาเตะ -มิยางิ -อากิตะ -ยามางาตะ -ฟุกุชิมะ -อิบารากิ -โทจิงิ -กุมมะ -ไซตามะ -จิบะ -โตเกียว -คานางาวะ -นีงาตะ -โทยามะ -อิชิกาวะ -ฟุกุอิ -ยามานาชิ -นางาโนะ -กิฟุ -ชิซึโอกะ -ไอจิ -มิเอะ -ชิงะ -เกียวโต -โอซากะ -เฮียวโงะ -นาระ -วากายามะ -โอกายามะ -ฮิโรชิมะ -ยามางุจิ -ฟุกุโอกะ -ซางะ -นางาซากิ -คุมาโมโตะ -โออิตะ ต่างแดน -อุษาคเนย์ --กัมพูชา --พม่า --สิงคโปร์ -ยุโรป --สวีเดน --เดนมาร์ก --ฟินแลนด์ -ออสเตรเลีย ท่องเที่ยว -มหาวิทยาลัย -พิพิธภัณฑ์ --พิพิธภัณฑ์วิทยาศาสตร์ --หอศิลป์ -สวนสัตว์ --พิพิธภัณฑ์สัตว์น้ำ -ท้องฟ้าจำลอง -ตึกระฟ้า -ปราสาท☑ --ปราสาทญี่ปุ่น --ปราสาทขอม --ปราสาทยุโรป -ศาสนสถาน --วัด --ศาลเจ้า --โบสถ์ --มัสยิด -สุสาน -มรดกโลก -ทะเล -ทะเลสาบ -ภูเขา -หิมะ -ดอกซากุระ -แมว -รถไฟ -เรือ -ตลาดกลางคืน -งานเทศกาล -ที่ระลึกภัยพิบัติ -ตามรอย บันเทิง -เกม --อาเตอลีเย --โปเกมอน --caligula --vn -อนิเมะ -มังงะ -นิยาย -เพลง --เพลงอนิเมะ --เพลงเกม เรื่องแต่ง บันทึก

　 記事を検索

　 最新記事

　 おすすめの記事

月別記事

もっと前の記事

ไทย

日本語

中文