>> ต่อจาก บทที่ ๕



ในบทก่อนหน้านี้เราพิจารณาปัญหาการจำแนกประเภทข้อมูลที่มีแค่ ๒ กลุ่ม

คราวนี้จะมาพิจารณาปัญหาที่ซับซ้อนขึ้น นั่นคือการวิเคราะห์จำแนกประเภทข้อมูลหลายๆกลุ่มที่ไม่ใช่แค่ ๒



หลักการ

เดิมทีในปัญหาการจำแนกประเภทเป็น ๒ กลุ่มนั้นเราใช้เพอร์เซปตรอนที่ให้คำตอบออกมาแค่ค่าเดียวแล้วดูว่าคำตอบมากกว่าหรือน้อยกว่า 0 แล้วตัดสินจำแนก ๒ กลุ่มจากตรงนี้

แต่พอมี ๓ กลุ่มขึ้นไปจะทำแบบนี้ไม่ได้แล้ว แต่ต้องเปลี่ยนวิธีการใหม่ นั่นคือแทนที่จะคำนวณให้ผลลัพธ์แค่ค่าเดียว ต้องเปลี่ยนมาเป็นให้ออกมาเป็นจำนวนเท่ากับจำนวนประเภทที่ต้องการจำแนก แล้วเทียบดูว่าตัวไหนมากที่สุดก็ตัดสินว่าเป็นกลุ่มนั้น

สมมุติว่าข้อมูลมี ๔ ตัวแปร ต้องการแบ่ง ๕ กลุ่ม การคำนวณของข้อมูลจะเป็นไปในลักษณะนี้



(ในที่นี้มีการใส่ดัชนี i ซึ่งแสดงถึงลำดับของข้อมูลด้วย เพราะข้อมูลที่ป้อนเข้าไปไม่ได้มีแค่ตัวเดียว สมการนี้แสดงการคำนวณของข้อมูลตัวที่ i)

ตัวแปรต้นแต่ละตัวต้องไปคูณกับค่าน้ำหนักของแต่ละกลุ่มแยกต่างหากกัน ตรงนี้ทำให้ w กลายเป็นอาเรย์สองมิติ ในที่นี้มีขนาด 4×5 ส่วน b ก็กลายเป็นมีหลายตัว จำนวนเท่ากับจำนวนกลุ่มประเภทที่แยก คือ 5

การคำนวณหาค่า a อาจเขียนในรูปของการคูณเมทริกซ์ได้ว่า
$\begin{align} \vec{a}_i &= \mathbf{w}^T \cdot \vec{x}_i + \vec{b} \\ \begin{bmatrix} a_{i,0} \\\\ a_{i,1} \\\\ \vdots \\\\ a_{i,m_1-1} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} w_{0,0} & w_{1,0} & \cdots & w_{m_0-1,0} \\\\ w_{0,1} & w_{1,1} & \cdots & w_{m_0-1,1} \\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ w_{0,m_1-1} & w_{1,m_1-1} & \cdots & w_{m_0-1,m_1-1} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_{i,0} \\\\ x_{i,1} \\\\ \vdots \\\\ x_{i,m_0-1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{0} \\\\ b_{1} \\\\ \vdots \\\\ b_{m_1-1} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \sum_{j=0}^{m_0-1}w_{j,0} x_{i,j} + b_0 \\\\ \sum_{j=0}^{m_0-1}w_{j,1} x_{i,j} + b_1 \\\\ \vdots \\\\ \sum_{j=0}^{m_0-1}w_{j,m_1-1} x_{i,j} + b_{m_1-1} \end{bmatrix} \end{align}$ ..(6.1)

ในที่นี้ m₀ เป็นจำนวนตัวแปรต้น หรือก็คือจำนวนมิติข้อมูลขาเข้า m₁ เป็นจำนวนกลุ่มที่แบ่ง ซึ่งก็คือจำนวนมิติของค่าขาออก

อาเรย์ค่าน้ำหนัก w มีขนาดเป็น m₀×m₁ ทำหน้าที่เป็นตัวเปลี่ยนถ่ายระหว่างข้อมูลขาเข้ากับขาออก

ทั้ง a และ x เองก็เป็นข้อมูลหลายค่าหลายตัวแปร ดังนั้นจึงอยู่ในรูปของอาเรย์สองมิติ เขียนการคำนวณใหม่ได้ดังนี้
$\begin{align} \pmb{a} = \mathbf{x} \cdot \textbf{w} + \vec{b}^T \end{align}$ ..(6.2)

โดย a คือ
$\begin{align} \pmb{a} = \begin{bmatrix} a_{0,0} & a_{0,1} & \cdots & a_{0,m_0-1} \\\\ a_{1,0} & a_{1,1} & \cdots & a_{1,m_1-1} \\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ a_{n-1,0} & a_{n-1,1} & \cdots & a_{n-1,m_1-1} \end{bmatrix} \end{align}$ ..(6.3)

จะเห็นว่าขนาดของ a, x, w สอดคล้องกันดี [n,m₁] = [n,m₀][m₀,m₁]

ส่วน b เป็นอาเรย์หนึ่งมิติ แต่เวลานำมาบวกกันจะเท่ากับเป็นการบวกทุกแถว ตามคุณสมบัติของอาเรย์
$\begin{align} \mathbf{x} \cdot \textbf{w} + \vec{b}^T &= \mathbf{x} \cdot \textbf{w} + \begin{bmatrix} b_0 & b_1 & \cdots & b_{m_1-1} \end{bmatrix} \\ &= \mathbf{x} \cdot \textbf{w} + \begin{bmatrix} b_{0} & b_{1} & \cdots & b_{m_1-1} \\\\ b_{0} & b_{1} & \cdots & b_{m_1-1} \\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ b_{0} & b_{1} & \cdots & b_{m_1-1} \end{bmatrix} \end{align}$ ..(6.4)

ต่อมาเมื่อได้ค่า a แล้วก็ดูว่าค่าไหนหลักไหนในแต่ละแถวมีค่ามากสุด คำตอบก็คือกลุ่มนั้นสำหรับในแถวนั้น

ในไพธอนใช้ .argmax เพื่อหาว่าแถวไหนมีค่าสูงสุดได้ โดยต้องระบุแกนเป็น axis=1 จะได้ค่าสูงสุดในแต่ละแถว

import numpy as np
a = np.random.randint(-9,9,[4,5])
print(a)
print(a.argmax(1)) # หรือ a.argmax(axis=1)

ได้

[[-4 -2 -9 -1 -8]
 [ 2  6  6 -8  8]
 [ 8  2 -3  5  5]
 [-9 -2  7 -5 -6]]
[3 4 0 2]

ส่วนการหาความน่าจะเป็นนั้นหากเดิมทีตอนที่แบ่งเป็นสองกลุ่มจะใช้ฟังก์ชันซิกมอยด์ แต่สำหรับในกรณีหลายกลุ่มแบบนี้จะเปลี่ยนมาใช้ฟังก์ชันซอฟต์แม็กซ์ (softmax) แทน

สามารถคำนวณได้ดังนี้
$\begin{align} \mathbf{h} = \mathbf{softmax}(\mathbf{a})= \frac{\exp(\pmb{a})}{\sum_{k=0}^{m_1-1}\exp(\vec{a}_{:,k})} \end{align}$ ..(6.5)

หรือเขียนในรูปของแต่ละค่าได้เป็น
$\begin{align} h_{i,k} = \frac{\exp(a_{i,k})}{\sum_{l=0}^{m_i-1}\exp(a_{i,l})} \end{align}$ ..(6.6)

ค่าที่ได้จากฟังก์ชันซอฟต์แม็กซ์แต่ละแถวจะบวกกันแล้วได้ 1 ดังนั้นจึงใช้แทนค่าความน่าจะเป็นของแต่ละตัว ในทำนองเดียวกับซิกมอยด์

ตัวอย่างการใช้ฟังก์ชันซอฟต์แม็กซ์ในไพธอน

def softmax(x):
    exp_x = np.exp(x.T-x.max(1))
    return (exp_x/exp_x.sum(0)).T

a = np.random.randint(-9,9,[4,3])
print(a)
h = softmax(a)
print(h)
print(h.sum(1))

ได้

[[ 3  3  7]
 [-8  1  5]
 [ 3  0 -7]
 [ 8  6  7]]
[[  1.76684220e-02   1.76684220e-02   9.64663156e-01]
 [  2.21966972e-06   1.79861700e-02   9.82011610e-01]
 [  9.52532933e-01   4.74238222e-02   4.32449282e-05]
 [  6.65240956e-01   9.00305732e-02   2.44728471e-01]]
[ 1.  1.  1.  1.]

จากนั้นเวลาคำนวณค่าเสียหายก็ใช้ค่าเอนโทรปีไขว้เช่นเดียวกัน แต่วิธีการคำนวณจะกลายเป็นแบบนี้
$\begin{align} J &= -\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1} \sum_{k=0}^{m_1-1} z_{i,k} \ln h_{i,k} \\ &= -\frac{1}{n}\textbf{sum}(\mathbf{z} \ln \mathbf{h}) \end{align}$ ..(6.7)

โดยที่ z ในที่นี้คือค่าคำตอบในรูปของวันฮ็อต (one-hot)

คือแทนค่าคำตอบเป็นเลขแทนกลุ่มแต่ละกลุ่ม ก็เขียนในรูปของอาเรย์สองมิติที่มีค่าเป็น 1 อยู่ค่าเดียวในตำแหน่งของกลุ่มที่เป็นคำตอบ ส่วนที่เหลือเป็น 0

ในไพธอนอาจเขียนฟังก์ชันแปลงได้ง่ายๆแบบนี้

def ha_1h(z,n):
    return (z[:,None]==range(n))

z = np.random.randint(0,5,8)
print(z)
print(ha_1h(z,5))
print(ha_1h(z,5).astype(int)) # เปลี่ยนเป็นเลข 1 และ 0

ได้

[1 3 0 2 2 1 4 0]
[[False  True False False False]
 [False False False  True False]
 [ True False False False False]
 [False False  True False False]
 [False False  True False False]
 [False  True False False False]
 [False False False False  True]
 [ True False False False False]]
[[0 1 0 0 0]
 [0 0 0 1 0]
 [1 0 0 0 0]
 [0 0 1 0 0]
 [0 0 1 0 0]
 [0 1 0 0 0]
 [0 0 0 0 1]
 [1 0 0 0 0]]

ฟังก์ชันที่สร้างขึ้นนี้จะทำการแปลงเป็นอาเรย์ที่ประกอบด้วย True False ถ้าจะแปลงเป็นเลข 1 และ 0 อีกทีก็เติม .astype(int) ต่อท้ายได้ แต่ว่าในทางปฏิบัติแล้วไม่จำเป็น ให้อยู่ในรูป True False แบบนี้จะสะดวกมากกว่า เวลาใช้ในการคำนวณจะถูกแปลงเป็น 1 0 โดยอัตโนมัติ

สำหรับรายละเอียดของเรื่องเอนโทรปีไขว้และที่มาของวิธีคำนวณอ่านได้ใน https://phyblas.hinaboshi.com/20180814

เพื่อที่จะทำการแพร่ย้อนกลับเพื่อหาอนุพันธ์ของค่าน้ำหนักและไบแอส อาจเขียนกราฟคำนวณได้ดังนี้



การคำนวณก็จะคล้ายๆกับในบทที่ ๔ จึงขอละรายละเอียด โดยรวมแล้วเขียนได้ดังนี้
$\begin{align} \frac{\partial J}{\partial \mathbf{h}} &= -\frac{\mathbf{z}}{n\mathbf{h}} \\ \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial \pmb{a}} &= \frac{\mathbf{h}(\mathbf{z}-\mathbf{h})}{\mathbf{z}} \\ \mathbf{g}_a &= \frac{\partial J}{\partial \pmb{a}} = \frac{1}{n}(\mathbf{h}-\mathbf{z}) \\ \frac{\partial \pmb{a}}{\partial \textbf{w}} &= \mathbf{x} \\ \frac{\partial \pmb{a}}{\partial \vec{b}^T} &= \vec{1}_{n} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix} \\ \mathbf{g}_w &= \frac{\partial J}{\partial \textbf{w}} = \mathbf{x}^T \cdot \mathbf{g}_a \\ \vec{g}_b &= \frac{\partial J}{\partial \vec{b}} = \mathbf{g}_a^T \cdot \vec{1}_{n} = \sum_{i=0}^{n-1}\mathbf{g}_{a,i} \end{align}$ ..(6.8)

แทนลงในกราฟคำนวณ



และนำค่าอนุพันธ์มาใช้ปรับค่าน้ำหนักและไบแอสเหมือนเดิม
$\begin{align} \Delta \mathbf{w} &= -\eta \mathbf{g}_w \\ \Delta \vec{b} &= -\eta \vec{g}_b \end{align}$ ..(6.9)



เขียนโปรแกรม

อาจสร้างคลาสของโครงข่ายประสาทเทียมสำหรับจำแนกประเภทข้อมูลหลายกลุ่มได้ดังนี้

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def ha_entropy(z,h):
    return -(np.log(h[z]+1e-10)).mean()

class Prasat:
    def __init__(self,eta):
        self.eta = eta
    
    def rianru(self,X,z,n_thamsam):
        self.kiklum = int(z.max()+1)
        Z = ha_1h(z,self.kiklum)
        self.w = np.zeros([X.shape[1],self.kiklum])
        self.b = np.zeros(self.kiklum)
        self.entropy = []
        self.khanaen = []
        for i in range(n_thamsam):
            a = self.ha_a(X)
            h = softmax(a)
            J = ha_entropy(Z,h)
            ga = (h-Z)/len(z)
            self.w -= self.eta*np.dot(X.T,ga)
            self.b -= self.eta*ga.sum(0)
            self.entropy.append(J)
            khanaen = (h.argmax(1)==z).mean()
            self.khanaen.append(khanaen)
    
    def thamnai(self,X):
        return self.ha_a(X).argmax(1)
        
    def ha_a(self,X):
        return np.dot(X,self.w) + self.b

วิธีการใช้ก็เหมือนกับแบบที่แบ่ง ๒ กลุ่มในบทที่ ๔ เพียงแต่ z ในที่นี้ไม่ได้มีแค่ 0 และ 1 แต่เป็นจำนวนเต็มตั้งแต่ 0 ไปจนถึงจำนวนกลุ่ม-1 แล้วในระห่างเรียนรู้จะถูกแปลงเป็นอาเรย์แบบวันฮ็อตเพื่อใช้ตอนคำนวณเอนโทรปี

ในที่นี้สร้างให้ใช้กับการแบ่งกี่กลุ่มก็ได้ โดยให้หาจำนวนกลุ่มง่ายๆโดยดูจากค่าสูงสุด

ลองนำมาใช้จำแนกข้อมูลที่มี ๓ กลุ่มแบบนี้

np.random.seed(2)
X = np.random.normal(0,0.7,[45,2])
X[:15] += 2
X[30:,0] += 4
z = np.arange(3).repeat(15)
plt.axes(aspect=1)
plt.scatter(X[:,0],X[:,1],100,c=z,edgecolor='k',cmap='coolwarm')
plt.show()

ให้โครงข่ายประสาทของเราทำการเรียนรู้แล้วทำนายแบ่งเขตพื้นที่ออกมา

prasat = Prasat(eta=0.1)
prasat.rianru(X,z,n_thamsam=250)
mx,my = np.meshgrid(np.linspace(X[:,0].min(),X[:,0].max(),200),np.linspace(X[:,1].min(),X[:,1].max(),200))
mX = np.array([mx.ravel(),my.ravel()]).T
mz = prasat.thamnai(mX).reshape(200,-1)
plt.axes(aspect=1,xlim=(X[:,0].min(),X[:,0].max()),ylim=(X[:,1].min(),X[:,1].max()))
plt.contourf(mx,my,mz,cmap='coolwarm',alpha=0.2)
plt.scatter(X[:,0],X[:,1],100,c=z,edgecolor='k',cmap='coolwarm')
plt.show()

เอนโทรปีและคะแนนก็ได้บันทึกไว้ เอาออกมาดูความคืบหน้าในการเรียนรู้ได้

plt.subplot(211,xticks=[])
plt.plot(prasat.entropy,'C9')
plt.ylabel(u'เอนโทรปี',family='Tahoma',size=12)
plt.subplot(212)
plt.plot(prasat.khanaen,'C9')
plt.ylabel(u'คะแนน',family='Tahoma',size=12)
plt.xlabel(u'จำนวนรอบ',family='Tahoma',size=12)
plt.show()

สุดท้ายลองทดสอบกับข้อมูลรูปร่างต่างๆเช่นเดียวกับในบทที่ ๔ (โหลด >> https://phyblas.hinaboshi.com/triamhai/ruprang-raisi-25x25x1000x5.rar)

แต่คราวนี้เราสามารถแบ่งทุกกลุ่มได้แล้ว จึงจะใช้รูปทั้ง ๕ ชนิด



ลองให้โปรแกรมทำการเรียนรู้แล้วก็แสดงความคืบหน้าของความแม่นยำในการทำนาย

from glob import glob
d = 25
X_ = np.array([plt.imread(x) for x in sorted(glob('ruprang-raisi-25x25x1000x5/*/*.png'))])
X = X_.reshape(-1,d*d)
z = np.arange(5).repeat(1000)

prasat = Prasat(eta=0.02)
prasat.rianru(X,z,n_thamsam=1000)
print(prasat.khanaen[-1])

plt.plot(prasat.khanaen,'C8')
plt.ylabel(u'คะแนน',family='Tahoma',size=12)
plt.xlabel(u'จำนวนรอบ',family='Tahoma',size=12)
plt.show()

ดูแล้วจะเห็นว่าทายได้ถูกต้องได้แค่ 80% เท่านั้น

เพื่อจะเห็นว่าปัญหาอยู่ตรงไหนอาจลองวาดเมทริกซ์ความสับสนดู

รายละเอียดเกี่ยวกับเรื่องนี้ขอละไว้ อ่านได้ใน https://phyblas.hinaboshi.com/20170926

เขียนฟังก์ชันเมทริกซ์ความสับสน แล้วใช้ดู

def confusion_matrix(z1,z2):
    n = max(z1.max(),z2.max())+1
    return np.dot((z1==np.arange(n)[:,None]).astype(int),(z2[:,None]==np.arange(n)).astype(int))

print(confusion_matrix(prasat.thamnai(X),z))

ดูแล้วจะเห็นว่าโปรแกรมมีปัญหาในการแยกแยะประเภทที่ 0 (วงกลม) กับประเภทที่ 2 (สี่เหลี่ยม)

[[699  10 214  18   6]
 [ 33 891 149   0  61]
 [265  75 605  55   0]
 [  3  10  22 927   0]
 [  0  14  10   0 933]]

ที่เป็นอย่างนี้ก็เพราะโครงข่ายประสาทที่มีแค่ชั้นเดียวแบบนี้เป็นแค่การแบ่งเชิงเส้นอย่างง่าย ทำได้แค่พิจารณาง่ายๆว่ารูปแบบไหนมีการขีดที่จุดไหนมากๆ ไม่ได้คิดอะไรซับซ้อน

เพื่อที่จะพิจารณาปัญหาที่ซับซ้อนขึ้นได้จำเป็นต้องสร้างโครงข่ายที่ต่อกัน ๒ ชั้นขึ้นไป ซึ่งจะพูดถึงในบทต่อไป



>> อ่านต่อ บทที่ ๗

~ 自己紹介 ~

目次

日本による名言集

python モジュール -- numpy -- matplotlib -- pandas -- manim -- opencv -- pyqt -- pytorch 機械学習 -- ニューラル      ネットワーク

javascript

モンゴル語

言語学

maya

確率論

日本での日記

中国での日記 -- 北京での日記 -- 香港での日記 -- 澳門での日記

台灣での日記

北欧での日記

他の国での日記

qiita

その他の記事

記事の類別

==เลือกหมวด== ดาราศาสตร์ คณิตศาสตร์ -ความน่าจะเป็น คอมพิวเตอร์ -เขียนโปรแกรม --python ---numpy ---scipy ---matplotlib ---pandas ---manim ---pyqt ---sklearn ---pytorch ---mayapython --ruby --javascript --dart --sql --regex --opencv -shell -3D --maya --MMD -microsoft_office -pdf -ปัญญาประดิษฐ์ --โครงข่ายประสาทเทียม -การสุ่ม ภาษาศาสตร์ -ตัวอักษร -เรียนภาษา -หลักเกณฑ์การทับศัพท์ -ภาษาจีน --ภาษาจีนกลาง -ภาษาญี่ปุ่น -ภาษามองโกล -ภาษาลาว -ภาษาเขมร ประวัติศาสตร์ -ประวัติศาสตร์จีน -ประวัติศาสตร์ญี่ปุ่น ปรัชญา บันทึก เรื่องแต่ง ประเทศจีน -จีนแผ่นดินใหญ่ --ปักกิ่ง --เทียนจิน --เหลียวหนิง --เหอเป่ย์ --เหอหนาน --ซานตง --ซานซี --อานฮุย --เจ้อเจียง --หูเป่ย์ --หูหนาน --ฝูเจี้ยน --กวางตุ้ง ---แต้จิ๋ว --ยูนนาน --ซินเจียง -ฮ่องกง -มาเก๊า -ไต้หวัน --ไทเป --จีหลง --เถาหยวน --ซินจู๋ --เหมียวลี่ --ไถจง --จางฮว่า --หยวินหลิน --เจียอี้ --ไถหนาน --เกาสยง --ผิงตง --อี๋หลาน ประเทศญี่ปุ่น -ฮกไกโด -อาโอโมริ -อิวาเตะ -มิยางิ -อากิตะ -ยามางาตะ -ฟุกุชิมะ -อิบารากิ -โทจิงิ -กุมมะ -ไซตามะ -จิบะ -โตเกียว -คานางาวะ -นีงาตะ -โทยามะ -อิชิกาวะ -ฟุกุอิ -ยามานาชิ -นางาโนะ -กิฟุ -ชิซึโอกะ -ไอจิ -มิเอะ -ชิงะ -เกียวโต -โอซากะ -เฮียวโงะ -นาระ -วากายามะ -โอกายามะ -ฮิโรชิมะ -ยามางุจิ -ฟุกุโอกะ ต่างแดน -อุษาคเนย์ --กัมพูชา --พม่า --สิงคโปร์ -ยุโรป --สวีเดน --เดนมาร์ก --ฟินแลนด์ ท่องเที่ยว -มหาวิทยาลัย -พิพิธภัณฑ์ --พิพิธภัณฑ์วิทยาศาสตร์ --หอศิลป์ -สวนสัตว์ --พิพิธภัณฑ์สัตว์น้ำ -ท้องฟ้าจำลอง -ตึกระฟ้า -ปราสาท☑ --ปราสาทญี่ปุ่น --ปราสาทขอม --ปราสาทยุโรป -ศาสนสถาน --วัด --ศาลเจ้า --โบสถ์ --มัสยิด -สุสาน -มรดกโลก -ทะเล -ทะเลสาบ -ภูเขา -หิมะ -ดอกซากุระ -แมว -รถไฟ -เรือ -ตลาดกลางคืน -งานเทศกาล -ที่ระลึกภัยพิบัติ -ตามรอย บันเทิง -เกม --อาเตอลีเย --โปเกมอน --caligula --vn -อนิเมะ -มังงะ -นิยาย -เพลง --เพลงอนิเมะ --เพลงเกม

　 記事を検索

　 最新記事

　 おすすめの記事

月別記事

もっと前の記事

ไทย

日本語

中文