φυβλαςのβλογ
บล็อกของ phyblas



ทำความเข้าใจเอนโทรปีไขว้และความควรจะเป็น
เขียนเมื่อ 2018/08/14 18:16
เวลาที่เขียนโปรแกรมแก้ปัญหาการแบ่งกลุ่มด้วยวิธีการวิเคราะห์การถดถอยโลจิสติก (逻辑回归, logistic regression) หรือโครงข่ายประสาทเทียม ปกติเราจะใช้ค่าเอนโทรปีไขว้ (交叉熵, cross entropy) เป็นฟังก์ชันค่าเสียหาย คือฟังก์ชันเป้าหมายที่ต้องการลดให้ต่ำที่สุด

ที่มาของค่าเอนโทรปีไขว้นี้มาจากการพิจารณาความควรจะเป็น (似然函数, likelihood)

ภาษาไทยใช้คำคล้ายๆกันแต่ "ความควรจะเป็น" กับ "ความน่าจะเป็น" เป็นคนละคำกัน

ความน่าจะเป็น (概率, probabilità) คือค่าที่บอกว่าเหตุการณ์ที่กำลังพิจารณาอยู่นั้นมีโอกาสเกิดแค่ไหน

เช่น เวลาโยนเหรียญ ถ้าความน่าจะเป็นที่จะออกหัวคือ 0.6 แสดงว่าหากโยนสัก 100 ครั้ง ก็ควรจะได้หัว 60 ครั้ง

ส่วนความควรจะเป็น คือค่าที่บอกว่าความน่าจะเป็นที่เราคาดเดานั้นสมเหตุสมผลแค่ไหนถ้าพิจารณาจากผลลัพธ์ที่เกิดขึ้น

ซึ่งก็คือคำนวณว่าผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นนั้นมีโอกาสเกิดขึ้นแค่ไหนจากความน่าจะเป็นที่เราคาดการณ์ไว้ ถ้าความน่าจะเป็นมากยิ่งแสดงว่าสมเหตุสมผล

เช่น โยนเหรียญครั้งนึง ออกก้อย แบบนั้นค่าความควรจะเป็นก็จะเท่ากับความน่าจะเป็นที่จะออกก้อย ซึ่งเท่ากับ 1 ลบด้วยความน่าจะเป็นที่จะออกหัว

สมมุติว่าเราทายว่าเหรียญอันนึงมีความน่าจะเป็นที่จะออกหัว 0.6 ก็จะได้ความควรจะเป็นเป็น 1-0.6=0.4

แต่ถ้าทายว่าเป็น 0 ก็จะได้ 1-0=1 ซึ่งตรงนี้บ่งบอกว่าหากทายว่าความน่าจะเป็นเป็น 0 จะมีค่าความควรจะเป็นสูงกว่า

หากเขียนกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างค่าความน่าจะเป็นที่คาดเดาไว้และค่าความควรจะเป็นที่ได้จะได้แบบนี้
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
p = np.linspace(0,1,101)
y = 1-p
plt.plot(p,y,'c')
plt.show()


แบบนี้จะเห็นว่าหากทายว่าความน่าจะเป็นเป็น 0 ดูจะสมเหตุสมผลที่สุด

แต่ว่าหากโยนเหรียญอีกครั้งนึงแล้วปรากฎว่าได้หัว เท่ากับเป็นก้อยครังนึงหัวครั้งนึงแล้ว แบบนั้นความควรจะเป็นจะกลายเป็นเท่าไหร่?

ปกติแล้วความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สองเหตุการณ์ที่ไม่ได้เกี่ยวข้องกันเลยจะคำนวณได้โดยเอาความน่าจะเป็นของทั้งสองนั้นมาคูณกัน

ดังนั้นกรณีนี้ต้องเอาความน่าจะเป็นที่จะโยนเหรียญได้หัวมาคูณกับความน่าจะเป็นที่จะโดยได้ก้อย

หากทายว่าความน่าจะเป็นเป็น 0.6 แบบนั้นความควรจะเป็นก็จะเป็น (1-0.6)×0.6 = 0.24

แต่ถ้าทายว่าเป็น 0 จะได้ (1-0)×0 = 0

กลายเป็นว่าการทายว่าความน่าจะเป็นเป็น 0 เป็นเรื่องไม่สมเหตุสมผลไปทันที ซึ่งก็เป็นธรรมดา เพราะหากความน่าจะเป็นเป็น 0 แสดงว่าต้องไม่มีโอกาสเกิดขึ้นเลย การที่มันเกิดขึ้นแล้วครั้งนึงแสดงว่าความน่าจะเป็นต้องไม่ใช่ 0

ในเมื่อการที่ความน่าจะเป็นเป็น 0 เป็นสิ่งที่ไม่ควรจะเป็น ดังนั้นความควรจะเป็นจึงมีค่าเป็น 0

หากวาดกราฟใหม่ก็จะได้แบบนี้
y = (1-p)*p
plt.plot(p,y,'b')
plt.show()



กลายเป็นว่าค่าสูงสุดอยู่ที่ 0.5 ซึ่งก็สมเหตุสมผลดี เพราะออกหัวออกก้อยเท่ากันการทายว่าความน่าจะเป็น 0.5 ย่อมดีที่สุด

ถ้าโยนอีกครั้งได้หัว ความควรจะเป็นก็จะกลายเป็น (1-p)×p×p
p = np.linspace(0,1,101)
y = (1-p)*p*p
plt.plot(p,y,'m')
plt.show()



คราวนี้ค่าสูงสุดอยู่ที่ 2/3=0.6666... แทน ซึ่งก็สมเหตุสมผลดีที่ค่าความจะเป็นสูงสุดจะมีค่าเท่ากับสัดส่วนที่ออกหัว เป็นไปตามสามัญสำนึกที่ว่าถ้าความน่าจะเป็นเป็นเท่าไหร่ โอกาสที่จะได้ตามสัดส่วนนั้นย่อมสูงสุด

หากลองโยนเหรียญหลายๆครั้งก็จะพบว่าค่าความควรจะเป็นคือ
..(1)

โดย n0 คือจำนวนครั้งที่ออกก้อย n1 คือจำนวนครั้งที่ออกหัว

ตัวอย่างเช่นออกก้อย 9 ครั้ง ออกหัว 18 ครั้ง จะได้ว่า
n0 = 18
n1 = 36
y = (1-p)**n0*p**n1
plt.plot(p,y,'g')
plt.show()



ที่น่าสังเกตอย่างนึงก็คือ จุดสูงสุดของกรณีนี้อยู่ที่ 0.6666... เหมือนกัน แต่กราฟดูผอมแคบลงเยอะ

นั่นหมายความว่ายิ่งทดลองจำนวนมาก ค่าความควรจะเป็นในการเดาความน่าจะเป็นแต่ละค่ายิ่งต่างกันชัด ดังนั้นยิ่งมั่นใจในการเดาได้มากขึ้น นี่คือเหตุผลที่เวลาทดลองทำอะไรเพื่อหาความน่าจะเป็นจะต้องทำหลายครั้งมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้

ทีนี้จะเห็นว่าการคำนวณความควรจะเป็นนี้จะต้องคูณกันไปเรื่อยๆ แบบนี้ดูแล้วไม่ค่อยสะดวก อีกทั้งค่ายิ่งเล็กลงเรื่อยๆเมื่อคูณกันมากเข้า

ดังนั้นโดยทั่วไปเวลาคำนวณคนจึงมักคำนวณค่า ln ของความควรจะเป็นแทน และโดยสมบัติของ ln แล้วจะได้ว่า
..(2)

ต่อให้ใส่ ln ไป ค่าที่สูงสุดก็ยังเป็นค่าสูงสุดไม่เปลี่ยนแปลง แต่จะได้ค่าที่ดูอ่านง่ายขึ้นเยอะ
ln_y = n0*np.log(1-p)+n1*np.log(p)
plt.plot(p,ln_y,'y')
plt.show()





ทีนี้กลับมาที่เรื่องของเอนโทรปีไขว้ในการวิเคราะห์การถดถอยโลจิสติก

เอนโทรปีไขว้คือค่าลบของ ln ของความควรจะเป็น
..(3)

สาเหตุที่ต้องเป็นค่าลบก็คือปกติแล้วค่าความควรจะเป็นมีค่าต่ำกว่า 0 ดังนั้น ln ก็จะติดลบ ถ้าใส่ลบให้เป็นค่าบวกจะดูดีกว่า อีกทั้งปกติปัญหาการหาค่าต่ำสุดนั้นเป็นที่นิยมมากกว่าการหาค่าสูงสุด

ในปัญหาการแบ่งกลุ่ม ๒ กลุ่มปกติจะให้ค่าคำตอบทั้งสองแทนด้วยเลข 0 และ 1 ให้กลุ่มนึงแทนด้วยเลข 0 อีกกลุ่มแทนด้วยเลข 1

ด้วยการวิเคราะห์การถดถอยโลจิสติกเราจะใช้ฟังก์ชันซิกมอยด์คำนวณ ซึ่งผลที่ได้ค่าที่ได้ออกมาจะเป็นค่าที่อยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 ซึ่งค่านี้จะบอกความน่าจะเป็นที่คำตอบจะเป็นกลุ่ม 1

แบบนี้ถ้าคำตอบจริงๆเป็น 1 เราก็จะได้ค่าเอนโทรปีไขว้เป็น
..(4)

แต่ถ้าคำตอบเป็น 0 เราจะได้ค่าเป็น
..(5)

สุดท้ายสามารถมาเขียนเป็นรูปทั่วไปได้ว่า
..(6)

โดย z คือค่าคำตอบ จะเห็นว่าถ้าคำตอบเป็น 0 ตัวหลังก็จะหายไป กลับไปสู่สมการ (4) แต่ถ้าเป็น 1 ตัวหน้าจะหาย กลับไปสู่สมการ (5)



ต่อมา พิจารณาปัญหาการแบ่งกลุ่มมากกว่าสองกลุ่ม กรณีนี้จะใช้ฟังก์ชันซอฟต์แม็กซ์เพื่อหาความน่าจะเป็นที่คำตอบจะเป็นค่าในแต่ละกลุ่ม ส่วนคำตอบจริงจะอยู่ในรูปวันฮ็อต (one-hot) คือเป็น 1 แต่คำตอบที่ใช่ ส่วนที่เหลือเป็น 0

แบบนี้ค่าความควรจะเป็นก็คือค่าความน่าจะเป็นที่เราทายไว้สำหรับกลุ่มที่ 2 ก็คือ 0.6

เช่นถ้าเป็นปัญหาแบ่งกลุ่ม ๕ กลุ่ม ถ้าคำตอบจริงเป็นกลุ่มที่ 2 จะได้ว่าคำตอบคือ z=[0,1,0,0,0]

แล้วสมมุติเราทำนายค่าความน่าจะเป็นที่จะเป็นแต่ละกลุ่มไว้ว่า p=[0.15,0.6,0.1,0.05,0.1]

เนื่องจากคำตอบจริงมีเพียงตัวเดียวที่เป็น 1 ที่เหลือเป็น 0 ดังนั้นค่าความควรจะเป็นก็จะขึ้นอยู่กับความน่าจะเป็นที่เราทำนายให้กลุ่มนั้น ค่าที่ทายให้กลุ่มอื่นจะไม่มีผล

ส่วนค่าเอนโทรปีไขว้ก็คือ -ln(0.6)

ซึ่งตรงนี้ที่จริงถ้าเขียนให้อยู่ในรูปทั่วไปแล้วก็คือความควรจะเป็นคือเอาความน่าจะเป็นมายกกำลัง z แล้วนำทั้งหมดมาคูณกัน
นั่นคือ 0.150×0.61×0.10×0.050×0.11 = 0.6

ส่วนเอนโทรปีไขว้เป็น -0×ln(0.15)-1×ln(0.6)-0×ln(0.1)^(0)-0×ln(0.05)-0×ln(0.1)

หากเขียนเป็นสูตรคำนวณโดยทั่วไปได้ว่า
..(7)

(ซึ่งถ้ามีแค่สองกลุ่มจะได้ว่า p0=1-p1 และ z0=1-z1 แล้วก็จะกลับไปสู่สมการ (6))

อย่างไรก็ตามโดยทั่วไปแล้วในเมื่อที่เป็น 1 จะมีแค่ค่าเดียวที่เหลือเป็น 0 ส่วนที่เป็น 0 นั้นไม่จำเป็นต้องคำนวณจริงๆ

ดังนั้นเวลาที่คำนวณค่าเอนโทรปีของจำนวนมากๆหลายตัวพร้อมกันแล้ว ในการคำนวณจริงๆแล้วแทนที่จะคำนวณตรงๆตามสมการ (ซึ่งต้องคำนวณค่า ln ของทุกตัวทั้งที่สุดท้ายแล้วค่าที่ได้จริงๆเป็นแค่ไม่กี่ตัวในนั้น) ถ้าเราใช้วิธีการกรองเอาเฉพาะที่เป็น 1 มาคำนวณจะเร็วกว่า

เพื่อให้เห็นความแตกต่าง ลองเปรียบเทียบเวลาดู สมมุติว่าเป็นปัญหาแบ่งกลุ่ม 100 กลุ่ม ข้อมูลมี 100000 ตัว อาจสร้างข้อมูลแบบสุ่มได้แบบนี้
n = 100000 # จำนวนข้อมูล
m = 100 # จำนวนกลุ่ม
z = np.random.randint(0,m,n) # สุ่มคำตอบ n ตัว
z = z[:,None]==np.arange(m) # ทำให้เป็น one-hot
p = np.random.random([n,m]) # สุ่มความน่าจะเป็นทั้ง m กลุ่มของข้อมูล n ตัว
p /= p.sum(1)[:,None] # ทำให้รวมกันแล้วเป็น 1 ในทุกแถว
จากนั้นลองคำนวณแล้วเทียบเวลา
import time
# แบบคำนวณตามสมการ
t1 = time.time()
-(z*np.log(p)).sum()
print(time.time()-t1) # 0.37312865257263184

# แบบกรองแล้วคำนวณ
t1 = time.time()
-(np.log(p[z])).sum()
print(time.time()-t1) # 0.011081457138061523
จะเห็นว่าความเร็วต่างกันเป็นสิบเท่า และจะเห็นว่ายิ่งจำนวนกลุ่มมากความแตกต่างก็จะยิ่งชัดเจนขึ้น



ทั้งหมดนี้เป็นที่มาของค่าเอนโทรปีไขว้ที่นิยมใช้กัน

สรุปง่ายๆก็คือ เวลาเราคำนวณฟังก์ชันซิกมอยด์หรือซอฟต์แม็กซ์ ผลที่ได้มาคือค่าความน่าจะเป็น แล้วค่าความควรจะเป็นคือสิ่งที่จะบอกว่าความน่าจะเป็นที่เราได้มานั้นสมเหตุสมผลแค่ไหน ส่วนเอนโทรปีไขว้คือ -ln(ความควรจะเป็น) ดังนั้นจึงเป็นค่าที่ยิ่งน้อยยิ่งดี และมันจึงกลายมาเป็นฟังก์ชันค่าเสียหายที่เป็นเป้าหมายที่เราต้องการลดให้น้อยที่สุด


-----------------------------------------

囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧

ดูสถิติของหน้านี้

หมวดหมู่

-- คณิตศาสตร์
-- คอมพิวเตอร์ >> ปัญญาประดิษฐ์

ไม่อนุญาตให้นำเนื้อหาของบทความไปลงที่อื่นโดยไม่ได้ขออนุญาตโดยเด็ดขาด หากต้องการนำบางส่วนไปลงสามารถทำได้โดยต้องไม่ใช่การก๊อปแปะแต่ให้เปลี่ยนคำพูดเป็นของตัวเอง หรือไม่ก็เขียนในลักษณะการยกข้อความอ้างอิง และไม่ว่ากรณีไหนก็ตาม ต้องให้เครดิตพร้อมใส่ลิงก์ของทุกบทความที่มีการใช้เนื้อหาเสมอ

สารบัญ

รวมคำแปลวลีเด็ดจากญี่ปุ่น
python
-- numpy
-- matplotlib

-- pandas
-- pytorch
maya
การเรียนรู้ของเครื่อง
-- โครงข่าย
     ประสาทเทียม
บันทึกในญี่ปุ่น
บันทึกในจีน
-- บันทึกในปักกิ่ง
บันทึกในไต้หวัน
บันทึกในยุโรปเหนือ
บันทึกในประเทศอื่นๆ
เรียนภาษาจีน
qiita
บทความอื่นๆ

บทความแบ่งตามหมวด



ติดตามอัปเดตของบล็อกได้ที่แฟนเพจ

  ค้นหาบทความ

  บทความแนะนำ

หลักการเขียนทับศัพท์ภาษาจีนกวางตุ้ง
การใช้ unix shell เบื้องต้น ใน linux และ mac
หลักการเขียนทับศัพท์ภาษาจีนกลาง
g ในภาษาญี่ปุ่นออกเสียง "ก" หรือ "ง" กันแน่
ทำความรู้จักกับปัญญาประดิษฐ์และการเรียนรู้ของเครื่อง
ค้นพบระบบดาวเคราะห์ ๘ ดวง เบื้องหลังความสำเร็จคือปัญญาประดิษฐ์ (AI)
หอดูดาวโบราณปักกิ่ง ตอนที่ ๑: แท่นสังเกตการณ์และสวนดอกไม้
พิพิธภัณฑ์สถาปัตยกรรมโบราณปักกิ่ง
เที่ยวเมืองตานตง ล่องเรือในน่านน้ำเกาหลีเหนือ
บันทึกการเที่ยวสวีเดน 1-12 พ.ค. 2014
แนะนำองค์การวิจัยและพัฒนาการสำรวจอวกาศญี่ปุ่น (JAXA)
เล่าประสบการณ์ค่ายอบรมวิชาการทางดาราศาสตร์โดยโซวเคนได 10 - 16 พ.ย. 2013
ตระเวนเที่ยวตามรอยฉากของอนิเมะในญี่ปุ่น
เที่ยวชมหอดูดาวที่ฐานสังเกตการณ์ซิงหลง
บันทึกการเที่ยวญี่ปุ่นครั้งแรกในชีวิต - ทุกอย่างเริ่มต้นที่สนามบินนานาชาติคันไซ
หลักการเขียนทับศัพท์ภาษาญี่ปุ่น
ทำไมจึงไม่ควรเขียนวรรณยุกต์เวลาทับศัพท์ภาษาต่างประเทศ
ทำไมถึงอยากมาเรียนต่อนอก
เหตุผลอะไรที่ต้องใช้ภาษาวิบัติ?

ไทย

日本語

中文