φυβλαςのβλογ
บล็อกของ phyblas



ความน่าจะเป็นเบื้องต้นสำหรับเขียนโปรแกรม บทที่ ๒๐: การแจกแจงสติวเดนต์ที
เขียนเมื่อ 2020/09/10 23:10
แก้ไขล่าสุด 2021/09/28 16:42

ต่อจาก บทที่ ๑๙

ในบทนี้จะพูดถึงการแจกแจงสติวเดนต์ที (学生t-分布, Student's t-distribution) ซึ่งเป็นการแจกแจงที่เกิดขึ้นเมื่อต้องการหาการแจกแจงความน่าจะเป็นของค่าที่แจกแจงแบบปกติโดยมีค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ หรือพารามิเตอร์ความเที่ยงตรง α=1/σ2 ไม่แน่นอน




การการแจกแจงแบบปกติที่ σ มีความไม่แน่นอน

จากตรงนี้จะทำการจัดรูปสมการในลักษณะที่คล้ายกับบทที่แล้ว แค่คราวนี้พารามิเตอร์ที่มีความไม่แน่นอนคือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ซึ่งเพื่อความสะดวกในที่นี้จะเขียนในรูปของพารามิเตอร์ความเที่ยงตรง α=1/σ2

เริ่มพิจารณาจากทฤษฎีบทของเกาส์ เช่นเดียวกับสมการ 19.6 แต่คราวนี้พารามิเตอร์เป็น α

🧹(20.1)


เอาส่วนที่ไม่เกี่ยวข้องกับ x มารวมไว้ในค่าคงที่เช่นเคย

ค่าตัวแปร x แจกแจงความน่าจะเป็นแบบปกติเป็น

🧹(20.2)

การแจกแจงความน่าจะเป็นของพารามิเตอร์ก็คือการแจกแจงความน่าจะเป็นภายหลัง ยกมาจากบทที่ ๑๖ ได้เป็น

🧹(20.3)


แทนสมการ 20.2 และ 20.3 ลงในสมการ 20.1 จะได้

🧹(20.4)


ผลที่ได้นี้ออกมาเป็นรูปของการแจกแจงแบบใหม่ซึ่งก็คือการแจกแจงสติวเดนต์ทีดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้นนั่นเอง




การแจกแจงสติวเดนต์ที

การแจกแจงสติวเดนต์ทีมีรูปทั่วไปเป็น

🧹(20.5)

พารามิเตอร์ของการแจกแจงนี้คือ ν ซึ่งถูกเรียกว่าเป็นองศาเสรี (自由度, degree of freedom)

กราฟแสดงการแจกแจงเปรียบเทียบกรณีต่างๆ



ลักษณะกราฟจะเป็นลักษณะสมมาตรที่มีใจกลางที่ 0 ค่า ν ยิ่งสูงจุดสูงสุด เมื่อค่าสูง ν ขึ้นจนเข้าใกล้อนันต์ก็จะกลายเป็นเทียบเท่ากับการแจกแจงแบบปกติไป

การแจกแจงสติวเดนต์ทีมีลักษณะสมมาตรเช่นเดียวกับการแจกแจงแบบปกติ ทั้งค่าคาดหมายและจุดกึ่งกลาง (ฐานนิยม) ล้วนอยู่ที่ตำแหน่ง 0 เช่นเดียวกับการแจกแจงปกติมาตรฐาน

ส่วนความแปรปรวนจะเป็น

🧹(20.6)

ซึ่งถ้าค่ามากจนใกล้อนันต์ ความแปรปรวนก็จะเป็น 1 เช่นเดียวกับการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน

สมการ 20.4 จะได้ออกมาเป็นสมการ 20.5 หากเทียบแทนค่าตามนี้

🧹(20.7)

โดยค่าคงที่คือ

🧹(20.8)

แล้วจะได้ว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของ x เป็น

🧹(20.9)

วาดกราฟแสดงการแจกแจงเปรียบเทียบกรณีที่ ν0 และ β0 เป็นค่าต่างๆ โดยให้ μ=5



ในที่นี้ β0 เป็นตัวปรับสัดส่วน ยิ่งค่ามากกราฟก็ยิ่งกว้าง ส่วน μ คือตำแหน่งในกลางของการแจกแจง




ความสัมพันธ์ระหว่างการแจกแจงสติวเดนต์ทีกับการแจกแจงไคกำลังสอง

ถ้า y เป็นตัวแปรสุ่มที่มีความน่าจะเป็นเป็นการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน และ z เป็นตัวแปรสุ่มที่มีความน่าจะเป็นเป็นการแจกแจงไคกำลังสองซึ่งมีองศาเสรีเป็น k แล้ว ค่า

🧹(20.10)

จะมีความน่าจะเป็นเป็นการแจกแจงแบบสติวเดนต์ทีซึ่งมีองศาเสรีเป็น k เช่นกัน

🧹(20.11)

ตัวอย่างการลองสุ่ม 10000 ตัวแล้วทำฮิสโทแกรม เมื่อให้ k=2 ภาพบนคือการแจกแจงปกติ ภาพกลางคือการแจกแจงไคกำลังสอง และภาพล่างสุดคือการแจกแจงที่ได้จากผลของสองการแจกแจงด้านบน ซึ่งจะเป็นการแจกแจงสติวเดนต์ที ส่วนเส้นกราฟแสดงฟังก์ชันการแจกแจงความหนาแน่นจริงๆ



ลองทำเหมือนเดิมแต่ให้ k=3





บทถัดไป >> บทที่ ๒๑



-----------------------------------------

囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧

ดูสถิติของหน้านี้

หมวดหมู่

-- คณิตศาสตร์ >> ความน่าจะเป็น

ไม่อนุญาตให้นำเนื้อหาของบทความไปลงที่อื่นโดยไม่ได้ขออนุญาตโดยเด็ดขาด หากต้องการนำบางส่วนไปลงสามารถทำได้โดยต้องไม่ใช่การก๊อปแปะแต่ให้เปลี่ยนคำพูดเป็นของตัวเอง หรือไม่ก็เขียนในลักษณะการยกข้อความอ้างอิง และไม่ว่ากรณีไหนก็ตาม ต้องให้เครดิตพร้อมใส่ลิงก์ของทุกบทความที่มีการใช้เนื้อหาเสมอ

สารบัญ

รวมคำแปลวลีเด็ดจากญี่ปุ่น
มอดูลต่างๆ
-- numpy
-- matplotlib

-- pandas
-- manim
-- opencv
-- pyqt
-- pytorch
การเรียนรู้ของเครื่อง
-- โครงข่าย
     ประสาทเทียม
ภาษา javascript
ภาษา mongol
ภาษาศาสตร์
maya
ความน่าจะเป็น
บันทึกในญี่ปุ่น
บันทึกในจีน
-- บันทึกในปักกิ่ง
-- บันทึกในฮ่องกง
-- บันทึกในมาเก๊า
บันทึกในไต้หวัน
บันทึกในยุโรปเหนือ
บันทึกในประเทศอื่นๆ
qiita
บทความอื่นๆ

บทความแบ่งตามหมวด



ติดตามอัปเดตของบล็อกได้ที่แฟนเพจ

  ค้นหาบทความ

  บทความแนะนำ

ตัวอักษรกรีกและเปรียบเทียบการใช้งานในภาษากรีกโบราณและกรีกสมัยใหม่
ที่มาของอักษรไทยและความเกี่ยวพันกับอักษรอื่นๆในตระกูลอักษรพราหมี
การสร้างแบบจำลองสามมิติเป็นไฟล์ .obj วิธีการอย่างง่ายที่ไม่ว่าใครก็ลองทำได้ทันที
รวมรายชื่อนักร้องเพลงกวางตุ้ง
ภาษาจีนแบ่งเป็นสำเนียงอะไรบ้าง มีความแตกต่างกันมากแค่ไหน
ทำความเข้าใจระบอบประชาธิปไตยจากประวัติศาสตร์ความเป็นมา
เรียนรู้วิธีการใช้ regular expression (regex)
การใช้ unix shell เบื้องต้น ใน linux และ mac
g ในภาษาญี่ปุ่นออกเสียง "ก" หรือ "ง" กันแน่
ทำความรู้จักกับปัญญาประดิษฐ์และการเรียนรู้ของเครื่อง
ค้นพบระบบดาวเคราะห์ ๘ ดวง เบื้องหลังความสำเร็จคือปัญญาประดิษฐ์ (AI)
หอดูดาวโบราณปักกิ่ง ตอนที่ ๑: แท่นสังเกตการณ์และสวนดอกไม้
พิพิธภัณฑ์สถาปัตยกรรมโบราณปักกิ่ง
เที่ยวเมืองตานตง ล่องเรือในน่านน้ำเกาหลีเหนือ
ตระเวนเที่ยวตามรอยฉากของอนิเมะในญี่ปุ่น
เที่ยวชมหอดูดาวที่ฐานสังเกตการณ์ซิงหลง
ทำไมจึงไม่ควรเขียนวรรณยุกต์เวลาทับศัพท์ภาษาต่างประเทศ

บทความแต่ละเดือน

2023年

1月 2月 3月 4月
5月 6月 7月 8月
9月 10月 11月 12月

2022年

1月 2月 3月 4月
5月 6月 7月 8月
9月 10月 11月 12月

2021年

1月 2月 3月 4月
5月 6月 7月 8月
9月 10月 11月 12月

2020年

1月 2月 3月 4月
5月 6月 7月 8月
9月 10月 11月 12月

2019年

1月 2月 3月 4月
5月 6月 7月 8月
9月 10月 11月 12月

ค้นบทความเก่ากว่านั้น

ไทย

日本語

中文