ความน่าจะเป็นเบื้องต้นสำหรับเขียนโปรแกรม บทที่ ๒๐: การแจกแจงสติวเดนต์ที
เขียนเมื่อ 2020/09/10 23:10
แก้ไขล่าสุด 2021/09/28 16:42
ต่อจาก บทที่ ๑๙
ในบทนี้จะพูดถึงการแจกแจงสติวเดนต์ที (学生t-分布, Student's t-distribution) ซึ่งเป็นการแจกแจงที่เกิดขึ้นเมื่อต้องการหาการแจกแจงความน่าจะเป็นของค่าที่แจกแจงแบบปกติโดยมีค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ หรือพารามิเตอร์ความเที่ยงตรง α=1/σ2 ไม่แน่นอน
การการแจกแจงแบบปกติที่ σ มีความไม่แน่นอน
จากตรงนี้จะทำการจัดรูปสมการในลักษณะที่คล้ายกับบทที่แล้ว แค่คราวนี้พารามิเตอร์ที่มีความไม่แน่นอนคือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ซึ่งเพื่อความสะดวกในที่นี้จะเขียนในรูปของพารามิเตอร์ความเที่ยงตรง α=1/σ2
เริ่มพิจารณาจากทฤษฎีบทของเกาส์ เช่นเดียวกับสมการ 19.6 แต่คราวนี้พารามิเตอร์เป็น α
🧹(20.1)
เอาส่วนที่ไม่เกี่ยวข้องกับ x มารวมไว้ในค่าคงที่เช่นเคย
ค่าตัวแปร x แจกแจงความน่าจะเป็นแบบปกติเป็น
🧹(20.2)
การแจกแจงความน่าจะเป็นของพารามิเตอร์ก็คือการแจกแจงความน่าจะเป็นภายหลัง ยกมาจากบทที่ ๑๖ ได้เป็น
🧹(20.3)
แทนสมการ 20.2 และ 20.3 ลงในสมการ 20.1 จะได้
🧹(20.4)
ผลที่ได้นี้ออกมาเป็นรูปของการแจกแจงแบบใหม่ซึ่งก็คือการแจกแจงสติวเดนต์ทีดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้นนั่นเอง
การแจกแจงสติวเดนต์ที
การแจกแจงสติวเดนต์ทีมีรูปทั่วไปเป็น
🧹(20.5)
พารามิเตอร์ของการแจกแจงนี้คือ ν ซึ่งถูกเรียกว่าเป็นองศาเสรี (自由度, degree of freedom)
กราฟแสดงการแจกแจงเปรียบเทียบกรณีต่างๆ
ลักษณะกราฟจะเป็นลักษณะสมมาตรที่มีใจกลางที่ 0 ค่า ν ยิ่งสูงจุดสูงสุด เมื่อค่าสูง ν ขึ้นจนเข้าใกล้อนันต์ก็จะกลายเป็นเทียบเท่ากับการแจกแจงแบบปกติไป
การแจกแจงสติวเดนต์ทีมีลักษณะสมมาตรเช่นเดียวกับการแจกแจงแบบปกติ ทั้งค่าคาดหมายและจุดกึ่งกลาง (ฐานนิยม) ล้วนอยู่ที่ตำแหน่ง 0 เช่นเดียวกับการแจกแจงปกติมาตรฐาน
ส่วนความแปรปรวนจะเป็น
🧹(20.6)
ซึ่งถ้าค่ามากจนใกล้อนันต์ ความแปรปรวนก็จะเป็น 1 เช่นเดียวกับการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน
สมการ 20.4 จะได้ออกมาเป็นสมการ 20.5 หากเทียบแทนค่าตามนี้
🧹(20.7)
โดยค่าคงที่คือ
🧹(20.8)
แล้วจะได้ว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของ x เป็น
🧹(20.9)
วาดกราฟแสดงการแจกแจงเปรียบเทียบกรณีที่ ν0 และ β0 เป็นค่าต่างๆ โดยให้ μ=5
ในที่นี้ β0 เป็นตัวปรับสัดส่วน ยิ่งค่ามากกราฟก็ยิ่งกว้าง ส่วน μ คือตำแหน่งในกลางของการแจกแจง
ความสัมพันธ์ระหว่างการแจกแจงสติวเดนต์ทีกับการแจกแจงไคกำลังสอง
ถ้า y เป็นตัวแปรสุ่มที่มีความน่าจะเป็นเป็นการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน และ z เป็นตัวแปรสุ่มที่มีความน่าจะเป็นเป็นการแจกแจงไคกำลังสองซึ่งมีองศาเสรีเป็น k แล้ว ค่า
🧹(20.10)
จะมีความน่าจะเป็นเป็นการแจกแจงแบบสติวเดนต์ทีซึ่งมีองศาเสรีเป็น k เช่นกัน
🧹(20.11)
ตัวอย่างการลองสุ่ม 10000 ตัวแล้วทำฮิสโทแกรม เมื่อให้ k=2 ภาพบนคือการแจกแจงปกติ ภาพกลางคือการแจกแจงไคกำลังสอง และภาพล่างสุดคือการแจกแจงที่ได้จากผลของสองการแจกแจงด้านบน ซึ่งจะเป็นการแจกแจงสติวเดนต์ที ส่วนเส้นกราฟแสดงฟังก์ชันการแจกแจงความหนาแน่นจริงๆ
ลองทำเหมือนเดิมแต่ให้ k=3
บทถัดไป >> บทที่ ๒๑