φυβλαςのβλογ
บล็อกของ phyblas



ความน่าจะเป็นเบื้องต้นสำหรับเขียนโปรแกรม บทที่ ๒๐: การแจกแจงสติวเดนต์ที
เขียนเมื่อ 2020/09/10 23:10
แก้ไขล่าสุด 2020/09/11 16:06

ต่อจาก บทที่ ๑๙

ในบทนี้จะพูดถึงการแจกแจงสติวเดนต์ที (学生t-分布, Student's t-distribution) ซึ่งเป็นการแจกแจงที่เกิดขึ้นเมื่อต้องการหาการแจกแจงความน่าจะเป็นของค่าที่แจกแจงแบบปกติโดยมีค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ หรือพารามิเตอร์ความเที่ยงตรง α=1/σ2 ไม่แน่นอน




การการแจกแจงแบบปกติที่ σ มีความไม่แน่นอน

จากตรงนี้จะทำการจัดรูปสมการในลักษณะที่คล้ายกับบทที่แล้ว แค่คราวนี้พารามิเตอร์ที่มีความไม่แน่นอนคือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ซึ่งเพื่อความสะดวกในที่นี้จะเขียนในรูปของพารามิเตอร์ความเที่ยงตรง α=1/σ2

เริ่มพิจารณาจากทฤษฎีบทของเกาส์ เช่นเดียวกับสมการ 19.6 แต่คราวนี้พารามิเตอร์เป็น α

🧹(20.1)


เอาส่วนที่ไม่เกี่ยวข้องกับ x มารวมไว้ในค่าคงที่เช่นเคย

ค่าตัวแปร x แจกแจงความน่าจะเป็นแบบปกติเป็น

🧹(20.2)

การแจกแจงความน่าจะเป็นของพารามิเตอร์ก็คือการแจกแจงความน่าจะเป็นภายหลัง ยกมาจากบทที่ ๑๖ ได้เป็น

🧹(20.3)


แทนสมการ 20.2 และ 20.3 ลงในสมการ 20.1 จะได้

🧹(20.4)


ผลที่ได้นี้ออกมาเป็นรูปของการแจกแจงแบบใหม่ซึ่งก็คือการแจกแจงสติวเดนต์ทีดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้นนั่นเอง




การแจกแจงสติวเดนต์ที

การแจกแจงสติวเดนต์ทีมีรูปทั่วไปเป็น

🧹(20.5)

พารามิเตอร์ของการแจกแจงนี้คือ ν ซึ่งถูกเรียกว่าเป็นองศาเสรี (自由度, degree of freedom)

กราฟแสดงการแจกแจงเปรียบเทียบกรณีต่างๆ



ลักษณะกราฟจะเป็นลักษณะสมมาตรที่มีใจกลางที่ 0 ค่า ν ยิ่งสูงจุดสูงสุด เมื่อค่าสูง ν ขึ้นจนเข้าใกล้อนันต์ก็จะกลายเป็นเทียบเท่ากับการแจกแจงแบบปกติไป

การแจกแจงสติวเดนต์ทีมีลักษณะสมมาตรเช่นเดียวกับการแจกแจงแบบปกติ ทั้งค่าคาดหมายและจุดกึ่งกลาง (ฐานนิยม) ล้วนอยู่ที่ตำแหน่ง 0 เช่นเดียวกับการแจกแจงปกติมาตรฐาน

ส่วนความแปรปรวนจะเป็น

🧹(20.6)

ซึ่งถ้าค่ามากจนใกล้อนันต์ ความแปรปรวนก็จะเป็น 1 เช่นเดียวกับการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน

สมการ 20.4 จะได้ออกมาเป็นสมการ 20.5 หากเทียบแทนค่าตามนี้

🧹(20.7)

โดยค่าคงที่คือ

🧹(20.8)

แล้วจะได้ว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของ x เป็น

🧹(20.9)

วาดกราฟแสดงการแจกแจงเปรียบเทียบกรณีที่ ν0 และ β0 เป็นค่าต่างๆ โดยให้ μ=5



ในที่นี้ β0 เป็นตัวปรับสัดส่วน ยิ่งค่ามากกราฟก็ยิ่งกว้าง ส่วน μ คือตำแหน่งในกลางของการแจกแจง




ความสัมพันธ์ระหว่างการแจกแจงสติวเดนต์ทีกับการแจกแจงไคกำลังสอง

ถ้า y เป็นตัวแปรสุ่มที่มีความน่าจะเป็นเป็นการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน และ z เป็นตัวแปรสุ่มที่มีความน่าจะเป็นเป็นการแจกแจงไคกำลังสองซึ่งมีองศาเสรีเป็น k แล้ว ค่า

🧹(20.10)

จะมีความน่าจะเป็นเป็นการแจกแจงแบบสติวเดนต์ทีซึ่งมีองศาเสรีเป็น k เช่นกัน

🧹(20.11)

ตัวอย่างการลองสุ่ม 10000 ตัวแล้วทำฮิสโทแกรม เมื่อให้ k=2 ภาพบนคือการแจกแจงปกติ ภาพกลางคือการแจกแจงไคกำลังสอง และภาพล่างสุดคือการแจกแจงที่ได้จากผลของสองการแจกแจงด้านบน ซึ่งจะเป็นการแจกแจงสติวเดนต์ที ส่วนเส้นกราฟแสดงฟังก์ชันการแจกแจงความหนาแน่นจริงๆ



ลองทำเหมือนเดิมแต่ให้ k=3





บทถัดไป >> บทที่ ๒๑



-----------------------------------------

囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧

ดูสถิติของหน้านี้

หมวดหมู่

-- คณิตศาสตร์ >> ความน่าจะเป็น

ไม่อนุญาตให้นำเนื้อหาของบทความไปลงที่อื่นโดยไม่ได้ขออนุญาตโดยเด็ดขาด หากต้องการนำบางส่วนไปลงสามารถทำได้โดยต้องไม่ใช่การก๊อปแปะแต่ให้เปลี่ยนคำพูดเป็นของตัวเอง หรือไม่ก็เขียนในลักษณะการยกข้อความอ้างอิง และไม่ว่ากรณีไหนก็ตาม ต้องให้เครดิตพร้อมใส่ลิงก์ของทุกบทความที่มีการใช้เนื้อหาเสมอ

สารบัญ

รวมคำแปลวลีเด็ดจากญี่ปุ่น
มอดูลต่างๆ
-- numpy
-- matplotlib

-- pandas
-- opencv
-- pytorch
การเรียนรู้ของเครื่อง
-- โครงข่าย
     ประสาทเทียม
maya
javascript
ความน่าจะเป็น
บันทึกในญี่ปุ่น
บันทึกในจีน
-- บันทึกในปักกิ่ง
-- บันทึกในฮ่องกง
-- บันทึกในมาเก๊า
บันทึกในไต้หวัน
บันทึกในยุโรปเหนือ
บันทึกในประเทศอื่นๆ
เรียนภาษาจีน
qiita
บทความอื่นๆ

บทความแบ่งตามหมวด



ติดตามอัปเดตของบล็อกได้ที่แฟนเพจ

  ค้นหาบทความ

  บทความแนะนำ

ภาษาจีนแบ่งเป็นสำเนียงอะไรบ้าง มีความแตกต่างกันมากแค่ไหน
ทำความเข้าใจระบอบประชาธิปไตยจากประวัติศาสตร์ความเป็นมา
เรียนรู้วิธีการใช้ regular expression (regex)
หลักการเขียนทับศัพท์ภาษาจีนกวางตุ้ง
การใช้ unix shell เบื้องต้น ใน linux และ mac
หลักการเขียนทับศัพท์ภาษาจีนกลาง
g ในภาษาญี่ปุ่นออกเสียง "ก" หรือ "ง" กันแน่
ทำความรู้จักกับปัญญาประดิษฐ์และการเรียนรู้ของเครื่อง
ค้นพบระบบดาวเคราะห์ ๘ ดวง เบื้องหลังความสำเร็จคือปัญญาประดิษฐ์ (AI)
หอดูดาวโบราณปักกิ่ง ตอนที่ ๑: แท่นสังเกตการณ์และสวนดอกไม้
พิพิธภัณฑ์สถาปัตยกรรมโบราณปักกิ่ง
เที่ยวเมืองตานตง ล่องเรือในน่านน้ำเกาหลีเหนือ
บันทึกการเที่ยวสวีเดน 1-12 พ.ค. 2014
แนะนำองค์การวิจัยและพัฒนาการสำรวจอวกาศญี่ปุ่น (JAXA)
เล่าประสบการณ์ค่ายอบรมวิชาการทางดาราศาสตร์โดยโซวเคนได 10 - 16 พ.ย. 2013
ตระเวนเที่ยวตามรอยฉากของอนิเมะในญี่ปุ่น
เที่ยวชมหอดูดาวที่ฐานสังเกตการณ์ซิงหลง
บันทึกการเที่ยวญี่ปุ่นครั้งแรกในชีวิต - ทุกอย่างเริ่มต้นที่สนามบินนานาชาติคันไซ
หลักการเขียนทับศัพท์ภาษาญี่ปุ่น
ทำไมจึงไม่ควรเขียนวรรณยุกต์เวลาทับศัพท์ภาษาต่างประเทศ
ทำไมถึงอยากมาเรียนต่อนอก
เหตุผลอะไรที่ต้องใช้ภาษาวิบัติ?

ไทย

日本語

中文