ความน่าจะเป็นเบื้องต้นสำหรับเขียนโปรแกรม บทที่ ๒๑: การแจกแจงอเนกนามและการแจกแจงแบบหมวดหมู่
เขียนเมื่อ 2020/09/11 16:05
แก้ไขล่าสุด 2023/08/26 13:15
ต่อจาก บทที่ ๒๐
ในบทนี้จะเป็นเรื่องของการแจกแจงอเนกนามและการแจกแจงแบบหมวดหมู่
การแจกแจงความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แบบต่างๆ
ในบทที่ ๕ ได้เขียนถึงการแจกแจงทวินามไปแล้ว
การแจกแจงแบบทวินามนั้นเป็นการแจกแจงของผลลัพธ์ที่มีแค่ 2 แบบ ซึ่งมักจะหมายถึงสำเร็จกับล้มเหลว
แต่ว่าบ่อยครั้งที่ผลลัพธ์ไม่ได้มีอยู่แค่ 2 แบบ แต่มีหลายแบบกว่านั้น ในกรณีแบบนี้การแจกแจงจะซับซ้อนกว่าเดิมไปอีกขั้น กลายเป็นการแจกแจงที่เรียกว่าการแจกแจงอเนกนาม (多项分布, multinomial distribution)
"ทวิ" แปลว่า "สอง" ส่วน "อเนก" แปลว่า "หลายๆ" ฉะนั้นการแจกแจงแบบอเนกนามก็เป็นการขยายผลจากการแจกแจงทวินามซึ่งมีอยู่แค่ 2 มาเป็นหลายๆ
อาจเทียบได้กับความสัมพันธ์ระหว่างการแจกแจงแบบปกติตัวแปรเดียวกับการแจกแจงแบบปกติหลายตัวแปร
ในที่นี้จะขอเรียกรูปแบบของผลลัพธ์ต่างๆว่า "หมวดหมู่" (类别, category)
ถ้ามีหมวดหมู่ทั้งหมด m หมวดหมู่ ให้ เป็นจำนวนผลลัพธ์ที่ได้ในแต่ละหมวดหมู่
ความน่าจะเป็นร่วมที่จำนวนครั้งที่ออกจะได้เป็น จะเป็นการแจกแจงแบบอเนกนาม คือ
พารามิเตอร์มี 2 ตัว คือ
- : ความน่าจะเป็นของแต่ละหมวดหมู่
- n: จำนวนครั้งที่ทำการทดลองทั้งหมด
จำนวนรวมทั้งหมดต้องเท่ากับ n พอดี
และความน่าจะเป็นทั้งหมดต้องรวมกันได้เท่ากับ 1 พอดี
และเมื่อเป็นค่าความน่าจะเป็นก็แน่นอนว่าต้องอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1
ยกตัวอย่างเช่นทอยลูกเต๋าซึ่งมี 6 หน้าทั้งหมด 100 ครั้ง แล้วนับจำนวนที่ออกแต่ละหน้า ผลลัพธ์ก็จะมี 6 หมวดหมู่ นั่นคือ m=6 ในที่นี้ความน่าจะเป็นแต่ละตัวคือ p1,p2,...p6=1/6 จำนวนครั้งที่ทดลองคือ n=100 จำนวนที่ออกในแต่ละหน้าอาจเขียนแทนด้วย k1,k2,...,k6 เป็นต้น
ลองเขียนเป็นโค้ดสุ่มดูจริงๆในไพธอน
import random,math
m = 6 # จำนวนหน้าลูกเต๋า
n = 100 # จำนวนที่โยน
# สุ่มผลโยน n ครั้ง
x = []
for i in range(n):
x += [random.randint(1,m)]
# นับจำนวนที่ออกแต่ละหน้า
for i in range(1,m+1):
ki = x.count(i)
print(f'k{i} = {ki}')ผลที่ได้
k1 = 14
k2 = 23
k3 = 15
k4 = 14
k5 = 15
k6 = 19โดยเฉลี่ยแล้วแต่ละหน้าน่าจะได้สัก 16-17 ครั้ง แต่การทดลองงวดนี้ 2 ดูจะออกมาเยอะเป็นพิเศษ ซึ่งก็เป็นเรื่องที่มีโอกาสเกิดขึ้นได้
ค่าคาดหมายและความแปรปรวนของการแจกแจงอเนกนาม
ค่าคาดหมายของแต่ละหมวดหมู่คำนวณได้เป็น
ความแปรปรวนของแต่ละหมวดหมู่เป็น
ความแปรปรวนร่วมเกี่ยวระหว่างต่างหมวดหมู่เป็น
เมื่อ i≠j
และจะได้เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเกี่ยวเป็น
ความสัมพันธ์ระหว่างการแจกแจงอเนกนามกับการแจกแจงทวินามและแบร์นุลลี
ถ้าหาก m=2 ซึ่งก็หมายถึงว่ามีแค่ 2 หมวดหมู่แล้ว การแจกแจงความน่าจะเป็นก็จะได้เป็น
ความน่าจะเป็นรวมต้องเป็น 1 และผลรวมของ k ต้องเป็น n ดังนั้น
จึงเขียนใหม่ได้เป็น
ซึ่งก็จะกลายเป็นการแจกแจงทวินาม (แค่เอาเลข 1 ที่ห้อยอยู่ออกไป)
และถ้า m=2 อีกทั้งยัง n=1 ก็จะกลายเป็นการแจกแจงแบร์นุลลี
ดังนั้นการแจกแจงทวินามก็ถือได้ว่าเป็นกรณีเฉพาะแบบหนึ่งของการแจกแจงอเนกนาม ในกรณีที่หมวดหมู่มีเพียง 2
การแจกแจงแบบหมวดหมู่
การแจกแจงอเนกนามในกรณีที่ n=1 จะเป็นกรณีเฉพาะที่เรียกว่าการแจกแจงแบบหมวดหมู่ (类别分布, categorical distribution)
ความสัมพันธ์ของการแจกแจงแบบหมวดหมู่กับการแจกแจงอเนกนามนั้นคือเช่นเดียวกับความสัมพันธ์ระหว่างการแจกแจงแบร์นุลลีและการแจกแจงทวินาม
อาจถือได้ว่าทั้งการแจกแจงแบร์นุลลี, การแจกแจงทวินาม, การแจกแจงแบบหมวดหมู่ ล้วนเป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงอเนกนาม
ตัวอย่างกรณีสามหมวดหมู่
ลองดูตัวอย่างกรณีที่ง่ายรองลงมาจากกรณี 2 หมวดหมู่ (ซึ่งก็คือการแจกแจงทวินาม) นั่นคือกรณีที่ผลลัพธ์มี 3 หมวดหมู่
ถ้ามี 3 หมวดหมู่ ผลลัพธ์คือจำนวนครั้งที่ได้ในแต่ละหมู่ก็จะมี 3 ค่า เป็น
เพียงแต่ว่าถ้าทำการทดลอง n ครั้ง จำนวนรวมทั้งหมดก็ย่อมเป็น n แบบนั้นบอกแค่ค่า 2 ตัวแรกก็ย่อมรู้ค่าตัวที่ 3 แน่ชัดอยู่แล้ว
ดังนั้นในที่นี้จะแสดงการแจกแจง 2 มิติ ระหว่าง k1 กับ k2
ตัวอย่างเช่นให้จำนวนครั้งที่ลองเป็น n=10 แล้วให้ ผลการแจกแจงจะออกมาแบบนี้
จะเห็นว่าค่าสูงสุดอยู่ที่ k1=5,k2=2 (ซึ่งแน่นอนว่า k3 ก็จะเป็น 3) ซึ่งเป็นจำนวนที่ตรงตามสัดส่วนความน่าจะเป็น และค่าอื่นก็จะมีความน่าจะเป็นน้อยลงลดหลั่นไป
ลองทำเป็นภาพเคลื่อนไหว แสดงกรณีที่ให้ แล้วเพิ่มจำนวน n ไปเรื่อยๆ
หรือลองดูกรณีที่ให้ n คงที่ที่ 50 แล้วเปลี่ยนค่า ไปเรื่อยๆ
ตัวอย่างกรณีมากกว่าสามหมวดหมู่
ต่อไปลองมาดูกรณีที่เพิ่มมาอีกหมวด เป็น 4 หมวด ดูการแจกแจงของ k1,k2 เหมือนเดิม แต่ให้ k3 เปลี่ยนไปเรื่อยๆ โดยคงจำนวนค่า n (ส่วน k4 ก็เป็น n-k1-k2-k3 ไปโดยปริยาย) เทียบดูผลลัพธ์แต่ละกรณี
ในที่นี้พยายามแสดงตัวอย่างการแจกแจงเป็นภาพ ซึ่งก็มักจะแสดงได้แค่สองมิติ หรือใช้การเปลี่ยนแปลงตามเวลาเพื่อช่วยเป็นอีกมิติ แต่พอจำนวนหมวดหมู่เพิ่มขึ้นก็มีตัวแปรมากยิ่งขึ้นจึงยากที่จะเขียนแสดงเป็นภาพ แต่โดยรวมแล้วถ้าเข้าใจความหมายก็น่าจะนึกภาพตามออกได้
ผลลัพธ์อาจจะมีมากมาย แต่ถ้ามีรูปแบบแน่นอน จำนวนหมวดหมู่ก็เป็นจำนวนเต็ม แล้วก็ยังใช้การแจกแจงอเนกนามอธิบายการแจกแจงความน่าจะเป็นได้
ความสัมพันธ์กับการแจกแจงชนิดต่างๆ
สุดท้ายลองมาดูสรุปความสัมพันธ์ระหว่างการแจกแจงต่างๆที่เกี่ยวข้องกัน
เริ่มจากการแจกแจงแบบแบร์นุลลีซึ่งเป็นการทดลองที่ง่ายที่สุด คือมีผลลัพธ์แค่ 2 แบบคือสำเร็จกับล้มเหลว และทำแค่ 1 ครั้ง
ถ้าเปลี่ยนเป็นทำหลายครั้งก็จะกลายเป็นการแจกแจงทวินาม
ถ้าผลลัพธ์มีหลายแบบ แต่ยังทำแค่ 1 ครั้งก็จะเป็นการแจกแจงแบบหมวดหมู่
ถ้าผลลัพธ์มีหลายแบบ และทำหลายๆครั้งก็จะเป็นการแจกแจงอเนกนาม
ส่วนการแจกแจงเบตาคือความน่าจะเป็นก่อนหน้าสังยุคของการแจกแจงทวินามและการแจกแจงแบร์นุลลี
และในทำนองเดียวกัน การแจกแจงดีริคเลคือความน่าจะเป็นก่อนหน้าสังยุคของการแจกแจงอเนกนามและการแจกแจงแบบหมวดหมู่
สำหรับเรื่องของการแจกแจงดีริคเลจะเขียนถึงในบทต่อไป
บทถัดไป >> บทที่ ๒๒