φυβλαςのβλογ
บล็อกของ phyblas



ความน่าจะเป็นเบื้องต้นสำหรับเขียนโปรแกรม บทที่ ๓: ความน่าจะเป็นก่อนและหลังเหตุการณ์และทฤษฎีบทของเบย์
เขียนเมื่อ 2020/07/25 19:07
แก้ไขล่าสุด 2021/09/28 16:42

ต่อจาก บทที่ ๒

ในบทนี้จะว่าด้วยความน่าจะเป็นที่เปลี่ยนแปลงไปตามเหตุการณ์ก่อนและหลังจากที่รู้ข้อมูลเพิ่มเติมหรือสถานการณ์เปลี่ยนแปลงไป ซึ่งตรงนี้จะนำไปสู่หลักการของความน่าจะเป็นและสถิติแบบเบย์




ความน่าจะเป็นก่อนและหลังเหตุการณ์

เมื่อพิจารณาถึงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่างอยู่ แต่เราเกิดรู้เงื่อนไขเพิ่มเติมหรือสถานการณ์บางอย่างได้เปลี่ยนแปลงไป แบบนั้นความน่าจะเป็นก็อาจเปลี่ยนแปลงไปได้

ยกตัวอย่างเช่น มีหลุมอยู่ 3 หลุม หนึ่งในนั้นมีสมบัติซ่อนอยู่

(囗)(囗)(国)

แบบนี้ถ้าเลือกโดยที่ไม่รู้อะไรเลยโอกาสที่จะเจอสมบัติก็คือ 1/3

ทีนี้สมมุติว่าพอดีเรามีเครื่องมือตรวจสอบ แต่เครื่องมือนี้ไม่ได้แม่นนัก ตรวจ 5 ครั้งจะผิดสักครั้งหนึ่ง นั่นคือความน่าจะเป็นที่จะผิดเป็น 1/5

พอเราลองเลือกหลุมหนึ่งจาก 3 หลุม แล้วใช้เครื่องตรวจสอบดูเครื่องตรวจบอกว่าหลุมนั้นมีสมบัติอยู่จริง

แบบนี้ความน่าจะเป็นที่หลุมที่เราเลือกนั้นจะมีสมบัติอยู่จริงๆจะกลายเป็นเท่าไหร่?

ค่อยๆพิจารณาโดยวาดรูปแบ่งพื้นที่ ประกอบ

เริ่มแรก โอกาสที่จะมีสมบัติอยู่จริงคือ 1/3 ก็แบ่งพื้นที่ออก 1:2 แบบนี้



จากนั้นใช้เครื่องตรวจ โอกาสที่เครื่องจะบอกว่าตรวจเจอหรือไม่ขึ้นอยู่กับว่ามีสมบัติจริงหรือเปล่า โอกาสถูกเป็น 4/5 หมายความว่าถ้ามีสมบัติโอกาสที่ผลตรวจจะบอกว่าเจอก็เป็น 4/5 ของในนั้น แต่ถ้าในนั้นไม่มีสมบัติอยู่โอกาสที่ผลตรวจจะบอกว่าเจอก็เป็น 1/5 ลองวาดภาพแบ่งใหม่ได้ดังนี้



ทีนี้เราได้ใช้เครื่องมือตรวจแล้วเครื่องบอกว่าตรวจเจอ งั้นความเป็นไปได้ในส่วนที่ว่าตรวจไม่เจอก็หายไป เหลือแค่ตรงส่วนที่ตรวจเจอ



ดังนั้นโอกาสที่หลุมนั้นจะมีสมบัติอยู่จริงๆก็คือพื้นที่ส่วนที่เหลือและบอกว่ามีสมบัติ เทียบกับพื้นที่ทั้งหมดที่เหลืออยู่


ดังนั้นแสดงว่าหลังจากที่ได้ผลการตรวจมาแล้ว พบว่าความน่าจะเป็นที่จะมีสมบัติอยู่กลายเป็น 2/3

แสดงว่าแม้จะรู้ว่าเดิมทีโอกาสเจอสมบัติมีน้อยเป็นแค่ 1/3 เท่านั้น แต่ถ้าเชื่อตามที่เครื่องนี้บอก โอกาสก็กลายเป็น 2/3

แต่ในทางตรงกันข้าม ถ้าหากเครื่องตรวจบอกว่าไม่มี ก็จะกลายเป็นแบบนี้




เท่ากับว่าจากที่เดิมความเป็นไปได้ก็น้อยอยู่แล้วพอเครื่องตรวจมาช่วยย้ำผลว่าไม่มี โอกาสที่จะมีก็เลยกลายเป็นริบหรี่กว่าเดิม

สรุปก็คือ เมื่อได้ข้อมูลเพิ่มเติม ไม่ว่าจะเป็นไปในทางใด ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่างๆก็จะเปลี่ยนแปลงไปได้

ความน่าจะเป็นจากข้อมูลเดิมที่มีอยู่ก่อนที่จะได้ข้อมูลใหม่เพิ่มเติมเรียกว่าเป็น ความน่าจะเป็นก่อนหน้า (先验概率, prior probability) หรือเป็นความน่าจะเป็นตั้งต้น

ส่วนความน่าจะเป็นหลังจากได้ข้อมูลใหม่มาแล้วจะเรียกว่า ความน่าจะเป็นภายหลัง (后验概率, posterior probability)

ในที่นี้ความน่าจะเป็นก่อนหน้าก็คือ 1/3 ส่วนความน่าจะเป็นภายหลัง กรณีที่เครื่องตรวจบอกว่าเจอจะเป็น 2/3 ถ้าเครื่องตรวจบอกว่าไม่เจอจะเป็น 1/9




ทฤษฎีบทของเบย์

จากตัวอย่างปัญหาข้างต้นนี้อาจดูซับซ้อน ต้องวาดภาพนึกภาพตาม ถ้าปัญหายิ่งซับซ้อนขึ้นก็จะยิ่งนึกภาพตามยากขึ้น ปัญหาส่วนใหญ่จะมานั่งวาดภาพไล่คิดตลอดแบบนี้ไม่ได้

แต่หากเข้าใจแล้วก็จะพบว่าการพิจารณาความน่าจะเป็นในลักษณะนี้ได้นำไปสู่ข้อสรุปที่อาจคำนวณเป็นสูตรได้ว่า


สมการนี้เรียกว่าทฤษฎีบทของเบย์ (贝叶斯定理, Bayes' theorem) เป็นสูตรที่มีประโยชน์เวลาที่ต้องการมองค้นย้อนจากผลไปหาเหตุ

ในกรณีตัวอย่างปัญหาหลุมสมบัติกับเครื่องตรวจสมบัติดังที่ยกมาข้างต้นนี้เรามีผลลัพธ์ก็คือผลการตรวจของเครื่องตรวจ แต่สิ่งที่ต้องการจะรู้ก็คือความเป็นไปได้ที่จะมีสมบัติอยู่จริงๆ

ในที่นี้หากให้ A เป็นเหตุการณ์ที่เครื่องตรวจบอกว่ามีสมบัติ ส่วน B เป็นเหตุการณ์ที่มีสมบัติอยู่จริง แบบนี้เมื่อแทนข้อมูลที่มีอยู่ลงไปในสมการนี้ก็จะสามารถคำนวณได้ทันที

P(A|B) ในที่นี้คือโอกาสที่เครื่องจะตรวจพบว่ามีสมบัติจริงๆในกรณีที่มีสมบัติอยู่จริง ซึ่งโจทย์ก็กำหนดมาว่าความแม่นของเครื่องเป็น 4/5

P(B) คือความน่าจะเป็นเดิมที่จะมีสมบัติอยู่จริง ซึ่งก็คือ 1/3

P(A) คือความน่าจะเป็นที่เครื่องจะตรวจเจอ ซึ่งก็คือผลรวมความน่าจะเป็นระหว่างกรณีที่ตรวจเจอทั้งที่ไม่มีสมบัติอยู่จริงและกรณีที่ตรวจเจอในขณะที่มีสมบัติอยู่จริง

เมื่อแทนลงในสมการแล้ว การคำนวณจึงออกมาเป็นดังที่แสดงในตัวอย่างข้างต้นนั่นเอง

ส่วนที่มีของสูตรนี้ก็คือมาจากความสัมพันธ์ระหว่างความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขกับความน่าจะเป็นร่วม นั่นคือ


ดังนั้น


เป็นสูตรที่มีที่มาที่ไปไม่ซับซ้อน แต่ใช้ประโยชน์ได้อย่างกว้างขวาง

ในที่นี้ P(B) คือความน่าจะเป็นก่อนหน้า ส่วน P(B|A) คือความน่าจะเป็นภายหลัง ดังนั้นประโยชน์ของสูตรนี้ก็คือทำให้เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นภายหลังได้จากความหน้าจะเป็นก่อนหน้าที่มีอยู่




ความน่าจะเป็นเปลี่ยนไปตามข้อมูลที่มี

จากแนวคิดข้างต้นนี้นำไปสู่หลักแนวคิดของ การอนุมานแบบเบย์ (贝叶斯推断, Bayesian inference)

คือการที่มองว่าความน่าจะเป็นจะเปลี่ยนไปตามข้อมูลที่เราได้มา และเปลี่ยนไปได้เรื่อยๆเมื่อมีข้อมูลใหม่เข้ามา ดังนั้นความน่าจะเป็นขึ้นอยู่กับข้อมูลที่เรารู้อยู่ขณะนั้น

อย่างไรก็ตาม ที่จริงแล้วเรื่องของความน่าจะเป็นนี้ออกจะเป็นเชิงปรัชญาที่มีการถกเถียงกันมากมายเช่นกัน โดยคนที่ค้านแนวคิดแบบเบย์จะมองว่าความน่าจะเป็นนั้นเป็นสิ่งที่อยู่ในตัวเหตุการณ์นั้นๆ ไม่ควรจะขึ้นกับสิ่งที่เรารู้

ปัญหาที่มักจะยกขึ้นมาก็คือ การที่ความน่าจะเป็นตั้งต้นที่ถูกกำหนดขึ้นนั้นมีผลต่อความน่าจะเป็นภายหลัง

แต่ความน่าจะเป็นตั้งต้นเองก็อาจเป็นสิ่งที่ขึ้นอยู่กับสิ่งที่เรารู้มาเช่นกัน

เช่นในตัวอย่างเรื่องหลุมสมบัติข้างต้นนี้ ถ้าหากข้อมูลเริ่มแรกที่เรามีนั้นเปลี่ยนไป เช่นว่าจริงๆแล้วใน 3 หลุมนี้มี 2 หลุมที่มีสมบัติอยู่ แบบนี้ความน่าจะเป็นเริ่มต้นจะกลายเป็น 2/3 ลองวาดภาพดูใหม่จะกลายเป็นแบบนี้



แบบนี้หลังจากที่ใช้เครื่องตรวจ (ซึ่งให้มีความแม่นเป็น 4/5 เท่าเดิม) แล้วเครื่องบอกว่ามีสมบัติอยู่ ความน่าจะเป็นก็จะกลายเป็น


ซึ่งต่างจากกรณีเดิมที่ค่าความน่าจะเป็นตั้งต้นเดิมเป็น 1/3 ซึ่งจะได้ผลความน่าจะเป็นภายหลังเป็น 2/3

และลองคิดอีกกรณี คือถ้าเครื่องตรวจบอกว่าไม่เจอก็จะเป็น


ซึ่งต่างจากกรณีที่ความน่าจะเป็นตั้งต้นเป็นแบบเดิมที่บอกว่าจะเป็น 1/9

แล้วถ้าหากข้อมูลเริ่มแรกบอกว่าทั้ง 3 หลุมมีสมบัติอยู่ล่ะ? แบบนี้จะใช้เครื่องตรวจหรือไม่ความน่าจะเป็นที่จะมีสมบัติก็เป็น 1 คือยังไงก็มีแน่นอน

ซึ่งจากมุมมองของหลักสถิติและความน่าจะเป็นแบบดั้งเดิมนั้นคือจะฟังดูแปลกที่ว่าการรับรู้ของคนไปมีผลให้ความน่าจะเป็นเปลี่ยนแปลงไปได้ ทั้งที่ผลของเหตุการณ์บางอย่างควรจะได้ถูกกำหนดตายตัวอยู่แล้วไม่ว่าเราจะรู้หรือไม่ก็ตาม

ดังนั้นจึงบอกว่าเรื่องของความน่าจะเป็นนั้นมีความเกี่ยวพันกับปรัชญา เมื่อคิดให้ดีโลกนี้ประหลาด พวกเรื่องเชิงปรัชญาเช่นนี้ ยิ่งคิดแล้วก็อาจจะยิ่งแปลกใจเหมือนจะยิ่งไม่เข้าใจอะไร

แต่ถึงอย่างนั้นก็เห็นได้ชัดว่าการรู้ข้อมูลอะไรมากขึ้นช่วยให้เราคาดเดาทำนายอะไรได้แม่นยำมากขึ้น แนวคิดแบบเบย์นี้จึงถูกใช้อย่างกว้างขวางในการวิจัยทางวิทยาศาสตร์

ยิ่งมีข้อมูลมากก็ยิ่งเรียนรู้และทำนายได้ถูกต้องขึ้น นี่เป็นพื้นฐานแนวคิดของการเรียนรู้ของเครื่องนั่นเอง ดังนั้นจะเห็นได้ถึงความเชื่อมโยงระหว่างความน่าจะเป็นของเบย์กับหลักการเรียนรู้ของเครื่อง




ความน่าจะเป็นภายหลังกลายเป็นความน่าจะเป็นก่อนหน้าของการทดลองครั้งต่อไป

ประโยชน์จากการอนุมานของเบย์ทำให้เราคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โดยดูจากข้อมูลเดิมที่มีและข้อมูลที่ได้มาใหม่

แล้วเมื่อได้ข้อมูลใหม่มาแล้วทำให้ความน่าจะเป็นเปลี่ยนแปลงไปอีก ความน่าจะเป็นภายหลังที่ได้นั้นสามารถเอามาใช้เป็นความน่าจะเป็นก่อนหน้าของการทดลองครั้งต่อไป และสามารถทำซ้ำๆไปเรื่อยๆซึ่งจะเห็นความเปลี่ยนแปลงของความน่าจะเป็นไปเรื่อยๆได้

เพื่อจะให้เห็นภาพมากขึ้นจึงขอยกอีกตัวอย่างหนึ่ง

สมมุติว่ามีไหอยู่ 2 ใบ ใส่บอลไว้ 10 ลูก ขนาดเท่ากันทั้งหมด ไห ก. มีสีเขียว 8 ลูก สีแดง 2 ลูก ไห ข. มีสีเขียว 4 ลูก สีแดง 6 ลูก



ถ้าหากว่าต้องสุ่มหยิบบอลขึ้นมาลูกหนึ่งจากไหใบหนึ่ง โดยเราไม่รู้ว่าไหใบไหนคือไห ก. หรือ ข. ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกสีเขียวเป็นเท่าใด?

และอีกคำถามคือ ถ้าผลประกฏว่าหยิบออกมาแล้วได้ลูกสีเขียว ถามว่าความน่าจะเป็นที่ไหใบนั้นจะเป็นไห ก. เป็นเท่าใด? และถ้าหยิบลูกบอลจากไหใบเดิมต่ออีกความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกสีเขียวกลายเป็นเท่าใด?

ในตัวอย่างนี้ โอกาสหยิบได้บอลสีอะไรนั้นขึ้นอยู่กับว่าเราหยิบจากไหใบไหน แต่ปัญหาคือตอนแรกเราไม่รู้ด้วยซ้ำว่าไหที่เลือกเป็นไหใบไหน แบบนี้จึงต้องพิจารณาโอกาสที่จะเป็นไหแต่ละใบไปด้วย

จากข้อมูลที่ว่ามีใบหนึ่งเป็นไห ก. ใบหนึ่งเป็น ข. หมายความทั้ง 2 มีโอกาสเป็น 1/2 ทั้งคู่ แบบนี้



ทีนี้ถ้าหากหยิบไห ก. โอกาสได้สีเขียวคือ 8/10 ถ้าหยิบไห ข. โอกาสที่ได้สีเขียวคือ 4/10 ดังนั้นภาพจะกลายเป็นแบบนี้



ดังนั้นจะได้ว่าโอกาสที่จะหยิบได้สีเขียวคือ


จากนั้นถ้าลองหยิบขึ้นมาลูกหนึ่งแล้วพบว่าได้สีเขียว ผลที่ได้นี้จะต้องมีผลต่อโอกาสที่จะเป็นไห ก. หรือ ข. โดยจะเกิดการตัดผลในส่วนที่หยิบได้สีแดงออก และพิจารณาส่วนที่เหลือ



ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะเป็นไห ก. จึงกลายเป็น


เอาส่วนที่เหลือมาเขียนเป็นสัดส่วนพื้นที่ตามความน่าจะเป็นใหม่ได้แบบนี้



เมื่อหยิบลูกบอลจากไหใบเดิมอีกที ถ้าไหนี้เป็นไห ก. ก็จะเหลือสีเขียว 7 ลูกจาก 9 ลูกถ้าเป็นไห ข. ก็จะเหลือสีเขียว 3 ลูกจาก 9 ลูก ดังนั้นแบ่งพื้นที่ใหม่ก็กลายเป็นแบบนี้



โอกาสที่จะหยิบได้สีเขียวอีกจึงกลายเป็น



สมมุติว่าถ้าหยิบอีกครั้งแล้วยังคงได้สีเขียวอีก คราวนี้




จากตัวอย่างนี้จะเห็นว่าถ้าเราไม่รู้ว่าไหนี้เป็นใบไหนก็ไม่รู้ว่าความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้เป็นเท่าไหร่ ก็ต้องมาดูว่าความน่าจะเป็นที่จะเป็นไหใบไหนเป็นเท่าใดด้วย

แต่เมื่อหยิบบอลไปทีนึงแล้วรู้ผลก็จะทำให้เดาได้ง่ายขึ้นว่าไหใบนี้ควรจะเป็นใบไหน และนำความน่าจะเป็นที่ได้มาใหม่นี้ไปคำนวณความน่าจะเป็นในการหยิบครั้งต่อไปอีกที



บทถัดไป >> บทที่ ๔



-----------------------------------------

囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧

ดูสถิติของหน้านี้

หมวดหมู่

-- คณิตศาสตร์ >> ความน่าจะเป็น

ไม่อนุญาตให้นำเนื้อหาของบทความไปลงที่อื่นโดยไม่ได้ขออนุญาตโดยเด็ดขาด หากต้องการนำบางส่วนไปลงสามารถทำได้โดยต้องไม่ใช่การก๊อปแปะแต่ให้เปลี่ยนคำพูดเป็นของตัวเอง หรือไม่ก็เขียนในลักษณะการยกข้อความอ้างอิง และไม่ว่ากรณีไหนก็ตาม ต้องให้เครดิตพร้อมใส่ลิงก์ของทุกบทความที่มีการใช้เนื้อหาเสมอ

สารบัญ

รวมคำแปลวลีเด็ดจากญี่ปุ่น
มอดูลต่างๆ
-- numpy
-- matplotlib

-- pandas
-- manim
-- opencv
-- pyqt
-- pytorch
การเรียนรู้ของเครื่อง
-- โครงข่าย
     ประสาทเทียม
ภาษา javascript
ภาษา mongol
ภาษาศาสตร์
maya
ความน่าจะเป็น
บันทึกในญี่ปุ่น
บันทึกในจีน
-- บันทึกในปักกิ่ง
-- บันทึกในฮ่องกง
-- บันทึกในมาเก๊า
บันทึกในไต้หวัน
บันทึกในยุโรปเหนือ
บันทึกในประเทศอื่นๆ
qiita
บทความอื่นๆ

บทความแบ่งตามหมวด



ติดตามอัปเดตของบล็อกได้ที่แฟนเพจ

  ค้นหาบทความ

  บทความแนะนำ

ตัวอักษรกรีกและเปรียบเทียบการใช้งานในภาษากรีกโบราณและกรีกสมัยใหม่
ที่มาของอักษรไทยและความเกี่ยวพันกับอักษรอื่นๆในตระกูลอักษรพราหมี
การสร้างแบบจำลองสามมิติเป็นไฟล์ .obj วิธีการอย่างง่ายที่ไม่ว่าใครก็ลองทำได้ทันที
รวมรายชื่อนักร้องเพลงกวางตุ้ง
ภาษาจีนแบ่งเป็นสำเนียงอะไรบ้าง มีความแตกต่างกันมากแค่ไหน
ทำความเข้าใจระบอบประชาธิปไตยจากประวัติศาสตร์ความเป็นมา
เรียนรู้วิธีการใช้ regular expression (regex)
การใช้ unix shell เบื้องต้น ใน linux และ mac
g ในภาษาญี่ปุ่นออกเสียง "ก" หรือ "ง" กันแน่
ทำความรู้จักกับปัญญาประดิษฐ์และการเรียนรู้ของเครื่อง
ค้นพบระบบดาวเคราะห์ ๘ ดวง เบื้องหลังความสำเร็จคือปัญญาประดิษฐ์ (AI)
หอดูดาวโบราณปักกิ่ง ตอนที่ ๑: แท่นสังเกตการณ์และสวนดอกไม้
พิพิธภัณฑ์สถาปัตยกรรมโบราณปักกิ่ง
เที่ยวเมืองตานตง ล่องเรือในน่านน้ำเกาหลีเหนือ
ตระเวนเที่ยวตามรอยฉากของอนิเมะในญี่ปุ่น
เที่ยวชมหอดูดาวที่ฐานสังเกตการณ์ซิงหลง
ทำไมจึงไม่ควรเขียนวรรณยุกต์เวลาทับศัพท์ภาษาต่างประเทศ

บทความแต่ละเดือน

2023年

1月 2月 3月 4月
5月 6月 7月 8月
9月 10月 11月 12月

2022年

1月 2月 3月 4月
5月 6月 7月 8月
9月 10月 11月 12月

2021年

1月 2月 3月 4月
5月 6月 7月 8月
9月 10月 11月 12月

2020年

1月 2月 3月 4月
5月 6月 7月 8月
9月 10月 11月 12月

2019年

1月 2月 3月 4月
5月 6月 7月 8月
9月 10月 11月 12月

ค้นบทความเก่ากว่านั้น

ไทย

日本語

中文